Estaba haciendo algo de teoría de matrices cuando apareció una extraña suma.
Ejercicio: Supongamos que $N$ es una matriz nilpotente de índice $n$. Demuestra que la ecuación $$X^2 = I + N$$ tiene una solución $$ X = \sum_{k=0}^{n-1} {\frac{1}{2}\choose{k}} N^k.$$
Hubo una pista para este ejercicio:
Porque $(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty} {\alpha\choose{k}} x^k$ para $|x|<1$ la función $f(x)=(1+x)^{1/2}$ está definida en $A$ si los autovalores de $A$ satisfacen $|\lambda_i| < 1$ además de que $f(A)^2 = I + A$. Esto definitivamente funciona para $A=N$
La extraña suma es esta $(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty} {\alpha\choose{k}} x^k$ Nunca he visto esta antes. Se ve familiar a la expansión binomial. ¿No puedo entender de dónde viene esta suma? Normalmente es $(1+x)^{n} = \sum_{k=1}^{n} {n\choose{k}} x^k$
¿De dónde viene esta suma? ¿Qué sucede cuando $k>\alpha$?
Ten en cuenta que no he estudiado teoría de integración.
