Valor máximo de $a + b$ (Math. Reflections)

Question

Si $4a^2+3ab+b^2\le2016$, ¿qué podemos decir sobre el valor máximo de $a+b$? Aquí $a, b$ son números reales.

Creo que podemos utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz aquí. Cualquier idea gracias.

Answer 1

Estás tratando de maximizar una función lineal, en una bonita región convexa. Esto sucederá cuando la línea $a+b = c$ sea tangente al límite $C: 4a^2+3ab+b^2=2016$.

La tangente está dada por $C' = 0 \implies 8a+ 3ab'+3b + 2bb'=0 \implies b' = -\dfrac{8a+3b}{3a+2b} = -1 \implies b = -5a$. Usando esto en la curva, los puntos de tangencia son cuando $a=\pm 12, b = \mp 60$, entonces el máximo es cuando $a=-12, b = 60 \implies a+b = 48$.

Answer 2

Si quieres un método sin cálculo y con Cauchy Schwarz, primero transformamos la elipse a una forma más simple: $$2016\times 4= 4(4a^2+3ab+b^2) = 7a^2 + (3a+2b)^2$$ Ahora, usando la desigualdad de CS, $$(7a^2+(3a+2b)^2)(\tfrac17+1) \geqslant (-a + 3a+2b)^2 = 4(a+b)^2$$

$$\implies 2016\times \frac87 \geqslant (a+b)^2 \implies a+b \leqslant 48$$ Como $(a, b) = (-12, 60)$ logra la igualdad, esto es de hecho el máximo.

Answer 3

En primer lugar, $$4a^2+3ab+b^2=(2a+b)^2-ab\le2016$$ o equivalentemente $$(2a+b)^2\le2016+ab$$ Ahora tienes, de la desigualdad AM-GM, $$\frac{(a+b)^2}{2}\le \frac{(2a+b)^2}{2}\le1008+\frac{ab}{2}\le 1008 +\frac{(a+b)^2}{4}$$ Entonces tienes de la primera y última parte de la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{4} \le 1008$$ o $$a+b \le \sqrt {4032}$$