La matriz de divisores $D=(d_{r,s})_{r,s\in\mathbf{N}}$ está definida por $d_{r,s}=1$ si $r$ divide a $s$ y $0$ en caso contrario. Raymond Redheffer consideró una truncación finita de la matriz de divisores. Para cada número natural $n$ consideró la matriz, denotada como $R_{n}$, obtenida de la submatriz de $n\times n$ en la esquina superior izquierda de $D$ al establecer cada entrada en la primera columna como 1. Digo que $R_{n}$ es par si su número de entradas diferentes de cero es par, de lo contrario digo que es impar. Considera la siguiente tabla: \begin{array}{ l | l | l } n & \text{No. de entradas diferentes de cero de $R_{n}$} & \text{paridad de $R_{n}$} \\ \hline 1 & 1 & \text{impar} \\ 2 & 4 & \text{par} \\ 3 & 7 & \text{impar} \\ 4 & 11 & \text{impar} \\ 5 & 14 & \text{par} \\ 6 & 19 & \text{impar} \\ 7 & 22 & \text{par} \\ 8 & 27 & \text{impar} \\ 9 & 31 & \text{impar} \\ 10 & 36 & \text{par} \\ 11 & 39 & \text{impar} \\ 12 & 46 & \text{par} \\ 13 & 49 & \text{impar} \\ 14 & 54 & \text{par} \\ 15 & 59 & \text{impar} \\ \end{array} Los valores $n$ para los cuales las matrices $R_{n}$ son pares en paridad son los números $2,5,7,10,12,14,\ldots$ Similarmente los valores $n$ para los cuales las matrices $R_{n}$ son impares en paridad son los números $1,3,4,6,8,9,11,13,15,\ldots$
En 1959 escribiendo en la revista American Mathematical Monthly Ian Connell desafió a los lectores a encontrar una forma cerrada para una secuencia inusual. La secuencia, que ahora lleva su nombre, se crea de la siguiente forma: comienza escribiendo el primer número impar, $1$, luego escribe los siguientes dos números pares después de $1$: $2, 4$ y luego escribe los siguientes tres números impares después de $4$: $5, 7, 9$ y después escribe los próximos cuatro números pares después de $9$: $10, 12, 14, 16$, y así sucesivamente. Los primeros términos son $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17,\ldots$ Una solución al desafío de Connell apareció en la misma revista en 1960, donde se demostró que el término $n$-ésimo de la secuencia Connell, $a_{n}$, tiene la forma cerrada $2n \lfloor1/2(1 + \sqrt{8n 7})\rfloor$. La secuencia se encuentra en la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros (OEIS) buscando la entrada A001614. Una modificación a la Secuencia Connell se puede hacer reemplazando el primer término de la secuencia Connell con el número par $0$ y luego procediendo a escribir runs de $n$ números consecutivos de una paridad dada. En particular comienza escribiendo el primer número par $0$, luego escribe los dos siguientes números impares después de $0$: $1, 3$ luego escribe los tres siguientes números pares después de $3$: $4, 6 ,8$ y escribe los próximos cuatro números impares después de $8$: $9,11,13, 15$, y así sucesivamente. Los primeros términos son $0,1,3,4,6,8,9,11,13,15,\ldots$ La secuencia Connell modificada se encuentra en la OEIS buscando la entrada A133280. Ahí se encuentra una fórmula cerrada para el término $n$-ésimo, $a_{n}$, a saber $1+2n\lfloor 1/2+\sqrt{2n + 2}\rfloor$.
Digo que un número es un número Connell si pertenece a la secuencia Connell. Digo que un número es un número Connell modificado si pertenece a la secuencia Connell modificada. La secuencia Connell y sus modificaciones abarcan los números naturales y comparten los cuadrados perfectos entre ellos. Es directo demostrar que el orden promedio de los números Connell y sus modificaciones es $2,$ es decir $\lim_{n\to\infty}a_{n}/n=2.$
Aquí está la Pregunta:
¿Son ciertos los siguientes elementos?
- $R_{n}$ es par si y solo si $n$ es un número Connell que no es un cuadrado perfecto.
- $R_{n}$ es impar si y solo si $n$ es un número Connell modificado.
Por ejemplo, $n=19$ es un número Connell que no es un cuadrado perfecto, y por lo tanto deberíamos esperar que $R_{19}$ tenga un número par de entradas diferentes de cero. De hecho, el número de entradas diferentes de cero en $R_{19}$ es 78. Similarmente, si $n=36$, un número Connell modificado, entonces deberíamos esperar que $R_{36}$ tenga un número impar de entradas diferentes de cero. Efectivamente, $R_{36}$ tiene 175 entradas diferentes de cero.
