Descomponiendo $x^4-5x^2+6$ sobre algunos campos

Question

Mi libro me pide que descomponga

$$x^4-5x^2+6$$

sobre:

$K = \mathbb{Q},\\ K = \mathbb{Q[\sqrt{2}]},\\ K = \mathbb{R}$

Para $K = \mathbb{Q}$, sustituí $x² = a$ y obtuve:

$$a²-5a+6 = (a-3)(a-2)$$

Entonces, volviendo a $a = x²$ obtenemos:

$$x^4-5x^2+6 = (x²-3)(x²-2)$$

También, para $\mathbb{R}$ podemos factorizar simplemente $x²-3 = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ y $(x²-2) = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ así que tenemos: $$x^4-5x^2+6 = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$

pero ¿qué pasa con $$K = \mathbb{Q[\sqrt{2}]}\ ?$$

Answer 1

Su trabajo es correcto; para $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, seguramente tienes $$ x^4-5x^2+6=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2-3) $$ ¿Es $x^2-3$ reducible en $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$? Esto significaría...