La siguiente pregunta fue en un examen de ingreso:
Muestran que, si $n\gt0$, luego: $$\int_{{\rm e}^{1/n}}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}=\frac{2}{n^2{\rm e}}$$ You are allowed to assume $\lim_{x\to\infty}{\frac{\ln{x}}{x}}=0$. Hence explain why, if $1\lt a\lt b$, then: $$\int_{b}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}\lt\int_{a}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}$$
Deducir que: $$\sum_{n=1}^{N}{\frac{1}{n^{2}}}<\frac{\rm e}{2}\int_{{\rm e}^{1/N}}^{\infty}{\left(\frac{1-x^{-N}}{x^{2}-x}\right)\ln{x}\:dx},$$ Where $N\in\mathbb{N}:N\gt1$.
La primera parte creo que puedo integrar por partes, tal que:
$$\int{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}=\frac{1}{n}\int{x^{-n-1}\:dx}-\frac{x^{-n}\ln{x}}{n}$$
Claramente $\int{x^{-n-1}\:dx}=-\frac{x^{-n}}{n}$, por lo tanto tenemos:
$$\int_{{\rm e}^{1/n}}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}=\left.\frac{x^{-n}(n\ln{x}+1)}{n^{2}}\right|_{{\rm e}^{1/n}}^{\infty}=\frac{{\rm e}^{-\frac{n}{n}}(\frac{n}{n}+1)}{n^{2}}-0=\frac{2}{n^{2}{\rm e}}$$
Como se requiere. Para demostrar la siguiente desigualdad, todo lo que se requiere es demostrar que $\left.\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\right|_{x=1}\geq0$, $\lim_{x\to\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}}\geq0$, y $\left(\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\right)'\neq0$, $\forall x\in[1,\infty)$ y $\forall n\gt0$.
La primera desigualdad se verifica simplemente por la observación de que $\ln{1}=0$, por lo tanto $\frac{\ln{1}}{1^{n+1}}=0$, $\forall n$.La segunda desigualdad se puede escribir como:
$$\lim_{x\to\infty}{\left(\frac{1}{x^{n}}\frac{\ln{x}}{x}\right)},$$
Y como sabemos $\lim_{x\to\infty}{\frac{\ln{x}}{x}}=0$, e $\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x^{n}}}=0$, la segunda desigualdad también debe ser cierto. Para comprobar la segunda desigualdad simplemente se diferencian mediante el cociente de la regla y buscar puntos críticos:
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\right)}=\frac{x^{n}-(n+1)x^{n}\ln{x}}{x^{2n+2}}=\frac{1-(n+1)\ln{x}}{x^{n+2}}$$
Como $\ln{x}$ es una función monótonamente creciente, y en $x=1$, $\ln{x}=0$, podemos mostrar que $\forall n\gt 0$, y $x\gt1$, $\left(\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\right)\leq 0$, por lo tanto, la función es positiva para todos los valores de $x\gt 0$, lo que significa que por el teorema fundamental del cálculo que si $1\lt a\lt b$,$\forall n\gt0$:
$$\int_{b}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}<\int_{a}^{\infty}{\frac{\ln{x}}{x^{n+1}}\:dx}$$
Como se requiere.
Sin embargo, estoy atascado por la parte final de la pregunta. Mi primer pensamiento fue que como $\frac{1}{n^{2}}$ es monótonamente decreciente, $\forall n\gt0$; de integral realiza a través de la región de $(0,\infty)$ positivo término de error, por lo tanto, se puede reemplazar la suma con $\int_{1}^{N}{\frac{1}{n^2}\:dn}=\left.-\frac{1}{n}\right|_{1}^{N}=-\frac{1}{N}+1$. No estoy seguro de cómo llevar a cabo la segunda integral, sin embargo.
Gracias de antemano!
