Existencia de Álgebra de idempotentes anticu-mutativos

Question

Antecedentes y motivación: Me pregunto sobre la existencia de un álgebra que sea de alguna manera similar al álgebra exterior, pero que esté generada por idempotentes en lugar de nilpotentes.

Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión finita y sea $\{e_i\}$ una base de $V$. Dado que el álgebra exterior $\Lambda(V)$ asociada a un espacio vectorial es el álgebra $T(V)/I$, donde $T(V)$ es el álgebra tensorial asociada con $V$ y $I$ es el ideal generado por elementos de la forma $x\otimes x$, donde $x\in V, entonces se sigue que la inclusión de $V$ en $\Lambda(V)$ es una inyección. Sea $n_i$ la imagen de $e_i$ bajo esta inclusión. Entonces se sigue que los elementos $n_i$ satisfacen las relaciones de anticonmutación $\{n_i, n_j\} = 0$.

Me intriga la existencia o no existencia de un álgebra $A(V)$ asociada con $V$ que cumpla las siguientes propiedades: primero, al igual que con el álgebra exterior, es posible inyectar $V$ en $A(V)$. Segundo, si $p_i$ es la imagen de $e_i$ bajo esta inyección, entonces los elementos $p_i$ satisfacen las relaciones de anticonmutación $\{p_i, p_j\} = \delta_{ij} p_i$. Si tal álgebra existe, por la universalidad del álgebra tensorial $T(V)$ debería ser isomorfo a $T(V)/J$ para algún ideal $J. ¿Cuál sería este ideal J?

Answer 1

$J$ sería el ideal de $T(V)$ generado por los elementos del siguiente conjunto $\{p_i\otimes p_j+p_j\otimes p_i\mid i\neq j, i,j\in I\}\cup\{(p_i\otimes p_i)-p_i \mid i\in I \}$

Esto efectivamente obliga a que las relaciones que buscas se cumplan para los $p_i$.

(No he verificado los detalles de que $p_i\mapsto p_i$ sea una inyección, pero mi instinto me dice que lo es, ya que ninguna de las relaciones parece poder introducir dependencia lineal entre los $p_i$.)