¿Por qué un divisor de voltaje linealiza los efectos de un termistor no lineal?

Question

Vi un diseño con una especificación de diseño con un termistor NTC en una configuración de divisor de voltaje.

El método de diseño dijo que debemos tener $$R_1=\sqrt{R_{NTC\min}R_{NTC\max}}$$ para producir un voltaje de salida lineal para un rango dado a pesar de que \$R_{NTC}\$ es altamente no lineal (¿Por qué?)

¿No es que el efecto de \$R_1\$ es hacer que la resistencia vista o la resistencia de Thevenin sea cercana a \$R_1\$ si \$R_{NTC}\$ es suficientemente grande o en otras palabras $$ \frac{R_1 R_{NTC}}{R_1 + R_{NTC}} $$ no es una ecuación lineal ni linealiza el termistor altamente no lineal incluso para un rango dado. Así que todavía tenemos un voltaje de entrada no lineal en el Op-amp

No puedo ver por qué el voltaje de salida será lineal incluso para cualquier valor de \$R_1\$

Answer 1

No se produce linearización en el circuito del amplificador operacional, por lo que puede ignorar eso en cualquier análisis. Simplemente están diciendo que para aprovechar al máximo un mal negocio, la resistencia en serie debería ser la media geométrica de los extremos del rango de resistencia. Otra forma de verlo es que el \$\Delta V/\Delta T\$ se maximiza en la temperatura donde la resistencia del termistor es igual a la resistencia de la resistencia en serie. La salida por grado disminuye a ambos lados de ese valor.

Agregando resistencia en serie a un circuito de puente, es posible obtener un error en forma de S desde lineal que es bastante bueno en un rango relativamente estrecho de temperaturas, a costa de complejidad y salida, sin embargo, la temible no linealidad del termistor gana en un rango más amplio, por lo que a veces se utilizan esquemas que involucran redes de resistencias con múltiples elementos de termistor.

simula este circuito – Esquemático creado utilizando CircuitLab

Esto funciona porque el voltaje de excitación del puente adecuado varía en la dirección deseable con la resistencia del termistor (a medida que la resistencia del termistor aumenta a bajas temperaturas, el voltaje de excitación sube, aumentando la salida por grado). Hace unos días estuve jugando con esto, principalmente para ver qué tan fácil sería hacerlo con herramientas modernas (usando scripts y bibliotecas de Python y ecuaciones extendidas de Steinhart-Hart). Puede ver un resultado aquí.

Sin embargo, en 2021, un enfoque más sensato en la mayoría de los casos es proporcionar un ADC con mucho rango dinámico y lidiar con la no linealidad en el dominio digital.

Answer 2

De hecho no lo hace.

La ley típica de NTC es exponencial, esto se convierte en una relación de resistencia de frío a caliente que bien puede ser de cientos dependiendo del rango de temperatura considerado. No hay posibilidad de hacerlo excepto con algún algoritmo numérico inteligente más tarde, después del ADC.

Por otro lado, si el rango de temperatura es pequeño, elegir R1=R(NTC) se hace para tener la máxima sensibilidad, variación de voltaje por grado.

Por lo tanto, el método de diseño que elijas es simplemente optimizar en la media geométrica de la resistencia. Esto puede resultar lo suficientemente bueno dependiendo de los resultados que buscas.

Ten en cuenta que cualquier circuito lineal que puedas intentar linearizar es equivalente al divisor de voltaje que estás utilizando realmente, por lo que elegir la resistencia equivalente vista (tu R1) es el único grado de libertad.

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Decir que la red es lineal debería ser suficiente para demostrar que el puerto NTC puede ser modelado como su voltaje y resistencia de Thevenin, mientras que la salida de voltaje al circuito de medición es una combinación lineal de algún desplazamiento y una fracción del voltaje NTC $$V_\mathrm{out}=V_\mathrm{out,0}+\alpha \,V_\mathrm{Rt} $$

Pero me gustaría pasar por algunos detalles. Tomemos cualquier red lineal genérica que incluya excitación, nodos de salida pero no el propio Rt del NTC.

simular este circuito – Esquemático creado usando CircuitLab

Siempre se puede modelar (multiport) Thevenin $$\mathbf{V}=\mathbf{E}+\mathbf{R}\cdot\mathbf{I}$$ con V e I como vectores de voltaje y corriente de puerto, E como el vector de voltaje de Thevenin de circuito abierto y R la matriz de resistencias.

Expandiendo la notación matricial tenemos:

$$\left\{ \begin{align} V_1=&E_1+R_{11}I_1+R_{12}I_2 \\ V_2=&E_2+R_{21}I_1+R_{22}I_2 \end{align}\right. $$

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Ahora el puerto izquierdo #1 puede ser analizado, podemos asumir sin pérdida de generalidad (1) que I2=0 es decir, el circuito de medición es de alta impedancia.

(1) Si no lo fuera, la resistencia de entrada del sistema de medición siempre puede tomarse dentro de N y ser incluida en la matriz de resistencias.

Entonces tenemos $$ V_\mathrm{Rt}=V_1=E_1+R_{11}I_1 $$

simular este circuito

Eso es claramente el equivalente clásico de Thevenin, cualquier cosa que tengas dentro de la red de caja negra N1 el NTC solo ve un generador de voltaje y una resistencia.

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Ahora veamos la ecuación del puerto de salida 2 en la misma premisa I2=0 $$ V_{out}=V_2=E_2+R_{21}I_1 $$ La corriente I1 se puede encontrar a partir del puerto 1 $$ V_\mathrm{Rt}=E_1+R_{11}I_1\quad\quad\Rightarrow\quad\quad I_1=\frac{V_\mathrm{Rt}-E_1}{R_{11}}$$ Lo cual se sustituye arriba $$ V_{out}=V_2=E_2+R_{21}\frac{V_\mathrm{Rt}-E_1}{R_{11}}= \underbrace{E_2-\frac{R_{21}}{R_{11}}E_1}_{V_\mathrm{out,0}}+ \underbrace{\frac{R_{21}}{R_{11}}}_{\alpha}V_\mathrm{Rt}$$

$$V_\mathrm{out}=V_\mathrm{out,0}+\alpha \,V_\mathrm{Rt} $$

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En resumen, cualquier red lineal que inventes para conectar tu NTC se reduce a ser equivalente a

simular este circuito

Conducción de voltaje y resistencia con desplazamiento \$V_\mathrm{out,0} \$ y factor de ganancia \$\alpha\$ entre el voltaje del NTC VRt y la salida de la red.