Quiero demostrar que
$$\lim\limits_{N \to \infty}{\oint_{C_N}{\frac{z}{\exp(z)-1}}\cdot\frac{dz}{z^{2\cdot k+1}}}=0,$$ donde $C_N=\{z\in \mathbb C : |z|=2\pi(N+\frac{1}{2}) \}$ y $k\in \mathbb N$ es fijo.
Entiendo que esto se cumple:
$$|\oint_{C_N}{\frac{z}{exp(z)-1}}\cdot\frac{dz}{z^{2\cdot k+1}}|\le\oint_{C_N}{|\frac{1}{\exp(z)-1}}\cdot\frac{1}{z^{2\cdot k}}|\le2\pi \cdot 2\pi(N+\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{(2\pi(N+\frac{1}{2}))^{2\cdot k}} \cdot \max\{\frac{1}{|\exp(z)-1|}|z\in C_N\} $$
y sé que $\frac{1}{|\exp(z)-1|}$ tiene un denominador no nulo en $C_N$, y un máximo porque $C_N$ es compacto. Pero tengo problemas para encontrar una cota superior para este término. ¿Alguien podría ayudarme?