Para demostrar $\left|\frac{p_n(z)}{q_m(z)}\right|\leq \frac{M}{|z|^{m-n}}$ para algún $M>0$

Question

Para demostrar que existen $M>0$ y $a_0>0$ tales que para $|z|>a_0$, $$\left|\frac{p_n(z)}{q_m(z)}\right|\leq \frac{M}{|z|^{m-n}}$$ donde $p_n$ y $q_m$ son los polinomios de grado $n$ y $m$ respectivamente con $n

Me encontré con esta pregunta en este post.

Según la pista, es suficiente demostrar que para un $R$ lo suficientemente grande y para cualquier $|z|>R$, tenemos $$\left|\frac{z-z_1}{z-z_2}\right|

Answer 1

Sea $p_n(z)=\sum_{k=0}^{n}a_kz^k$, y $q_n(z)=\sum_{k=0}^{m}b_kz^k$ con $a_n\not=0$ y $b_m\not=0. Tenga en cuenta que $$\lim_{r\to +\infty }\sum_{k=0}^{m-1}\frac{|b_k|}{r^{m-k}}=\lim_{r\to +\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\frac{|a_k|}{r^{m-k}}=0.$$ Entonces, para $|z|$ es "suficientemente grande", $$\left|\frac{p_n(z)z^{m-n}}{q_m(z)}\right|\leq \frac{|a_n|+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{|a_k|}{|z|^{m-k}}}{|b_m|-\sum_{k=0}^{m-1}\frac{|b_k|}{|z|^{m-k}}}\leq 2\frac{|a_n|}{|b_m|}.$$ ¿Puede continuar a partir de aquí?

Answer 2

Esto concluye del Lema de Crecimiento que afirma para el polinomio $p(z)=a_0+\cdots+a_nz^n$ de grado $n$ y $a_n\neq0$ entonces para un valor suficientemente grande de $|z|$ tenemos $$\dfrac{|a_n|}{2}|z|^n\leq|p(z)|\leq\dfrac{3|a_n|}{2}|z|^n$$ aplica esto para $p$ y $q$ y encuentra el límite deseado. Puedes encontrar una versión del Lema de Crecimiento aquí.