Acerca de la secuencia convergente $f_n \to f$ en $L^p(U)$ (Convergencia en norma, paso del límite bajo la integral, etc.; Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evans)

Question

Sea $U$ un subconjunto acotado, conectado y abierto de $\mathbb{R}^n$. Supongamos que $1 \le p \le \infty$. Sea $f_n \to f$ una secuencia convergente en $L^p(U)$.

Mi pregunta es, entonces,

P.1. $ \lim_{n\rightarrow\infty} \left\Vert f_n \right\Vert_p =\left\Vert f\right\Vert_p<\infty $?

Encontré una publicación asociada: Convergencia en Lp implica convergencia en normas finitas de Lp. De la publicación, creo que la convergencia de norma es cierta para $1 \le p < \infty$. Y, también me pregunto si esto es cierto para $p=\infty$.

P.2. Para cualquier función de prueba $\phi\in C^{\infty}_c(U)$,

$$ \int_U f \phi dx = \lim_{n\to \infty}\int_U f_n \phi dx \tag{1}$$ ? Definamos una funcional $T_{\phi}$ en $L^p(U)$ por $T_{\phi}(f):=\int_U f \phi dx $ para todo $f\in L^p(U)$. Si $T$ es un funcional lineal 'acotado' en $L^p(U)$, entonces $T(f_n)$ converge a $T(f)$. Pero ¿es cierta la acotación de $T_{\phi}$ (incluido el caso $p=\infty$)? ¿O hay algún otro camino para mostrar la $(1)$?

Esta pregunta se origina a partir de la siguiente demostración de la desigualdad de Poincare en el libro de Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evans (p.275):

¿Por qué es cierta la declaración subrayada?

Answer 1

Para la pregunta 1), esto es cierto por la desigualdad triangular inversa para la norma ; $$\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\le\|x-y\|.$$

Para la pregunta 2), Nota el siguiente teorema ( Desigualdad de Hölder )

Teorema 1. Sea $E$ un conjunto medible, $1\le p < \infty$, y $q$ el conjugado de $p$. Si $f$ pertenece a $L^p(E)$ y $g$ pertenece a $L^{q}(E)$, entonces su producto $f\cdot g$ es integrable sobre $E$ y $$ \int_E|f\cdot g| \le \|f\|_{p} \cdot \|g\|_q.$$

Ahora, como se sugirió en mi pregunta original, permítanme mostrar que $T_{\phi}(f) :=\int_U f \phi dx $ ( $f \in L^{p}(U) $) es un funcional lineal 'acotado' para poder terminar.

Para demostrar la acotación de $T_{\phi}$, necesitamos mostrar que existe $M \ge 0$ tal que $$ |T_{\phi}(f)| := \bigg| \int_U f \phi dx\bigg| \le M \cdot \|f\|_p $$ para todo $f\in L^{p}(U)$.

Primero notamos que dado que $\phi \in C^{\infty}_c(U)$, $\phi \in L^{q}(U)$ para todo $1 \le q \le \infty$.

Caso 1) $1 \le p < \infty$ : Notamos que $$\bigg| \int_U f \phi dx \bigg| \le \int_U |f\phi|dx \le \|f\|_p \cdot \|\phi\|_q = \|\phi\|_q \cdot\|f\|_p ,$$ por la Desigualdad de Hölder

Caso 2) $p=\infty$ : En este caso, notamos que

$$ \bigg| \int_U f \phi dx \bigg| \le \int_U |f\phi|dx = \int_U |\phi f |dx \le \|\phi\|_1 \cdot \|f\|_{\infty} $$

también por la Desigualdad de Hölder.

Así que hemos terminado. Me gustaría agradecer a PNDas por su pista (uso de la Desigualdad de Hölder) a través del comentario.