La raíz cuadrada de una función (en el sentido de la composición)

Question

Hay algunas pruebas de matemáticas como:

encontrar una función $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\phi(\phi(x)) = f(x) \equiv x^2 + 1.$

Si tal $\phi$ existe (en este ejemplo), $\phi$ puede ser visto como una "raíz cuadrada" de $f$ en el sentido de la función de composición debido a que $\phi\circ\phi = f$. Hay una teoría general de las propiedades matemáticas de este tipo de raíces cuadradas? (Por ejemplo, por lo que $f$ un verdadero analítica de $\phi$ existir?)

Answer 1

Introducir un nuevo sistema de coordenadas con un punto fijo de $f$ como origen, por ejemplo, el punto de $\omega:=e^{\pi i/3}$. Escribir $x=\omega+\xi$, con una nueva variable independiente $\xi$ un $\phi(\omega+\xi)=\omega +\psi(\xi)$ para una nueva función desconocida $\psi$ con $\psi(0)=0$. Esta función $\psi$ satisface en un barrio de $\xi=0$ funcional de la ecuación $\psi(\psi(\xi))=2\omega\xi+\xi^2$. Ahora usted puede de forma recursiva determinar los coeficientes de Taylor de $\psi$. Si tienes suerte, el resultado formal de la serie en realidad define una función analítica en un barrio de $\xi=0$.

Answer 2

Ver también en esta respuesta:

http://mathoverflow.net/questions/17605/how-to-solve-ffx-cosx/44727#44727

En definitiva, la solución analítica es

$$f^{[1/2]}(x)=\phi(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \binom {1/2}m \sum_{k=0}^m\binom mk(-1)^{m-k}f^{(k)} (x)$$

$$f^{[1/2]}(x)=\lim_{n\to\infty}\binom {1/2}n\sum_{k=0}^n\frac{1/2-n}{1/2-k}\binom nk(-1)^{n-k}f^{(k)} (x)$$

$$f^{[1/2]}(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k f^{(k)} (x)}{(1/2-k)k!(n-k)!}}{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k }{(1/2-k) k!(n-k)!}}$$

De la misma manera que usted puede encontrar no sólo la plaza iterativo de la raíz, pero iterativo raíz de cualquier poder.

Answer 3

(Actualización: Oh, lo siento, soy nueva aquí. No noto mucho más sustancial enlace a la mathoverflow. Pero tal vez sea interesante para algunos novato de todos modos...)

Si la función es un polinomio (o powerseries) con término constante $\ne0$ esto es difícil, pero a veces una solución satisfactoria puede ser dado.

Si la función es como el anterior, pero el término constante es cero, entonces es sólo la cuestión de la relativamente simple manipulación formal de la powerseries/polinomio para construir una "composición" (o "iterativo") de la raíz.

Hay una muy buena oferta en L. Comtet Avanzada "Combinatoria" en las páginas de alrededor de 130..150 (no la tiene).

También las palabras clave de "Campana de la matriz", "Carleman-matriz" son útiles: estas matrices de transformar el problema de la función composición/iteración a la matriz de productos/matriz de competencias. (La matriz de la notación sólo implica la necesaria formal powerseries-manipulaciones) . Esto está bien establecido para las funciones $f(x)= ax + bx^2 + cx^3 +\cdots$.

Si el término constante no se desvanecen, $f(x) = K + ax + bx^2 + cx^3 +\cdots$, entonces las cosas suelen ser mucho más difícil. Pero hay uno, creo que: otra vez bien establecido - solución:

La reescritura de $f(x)$ como alguna función $g(x+x_0) - x_0$ tales que $g(x)$ no tiene término constante y, a continuación, aplicar los procedimientos anteriormente mencionados (problemas para iterativo de la raíz cuadrada y similares) $g(x)$.

Ejemplo: indicar el iterativo raíz de una cierta función $f(x)$ $f^{[1/2]}(x)$, a continuación, resolver

$$f^{[1/2]}(x) = g^{[1/2]}(x-x_0)+x_0$$

donde primero debe encontrar $x_0$.

[actualización 2] he tratado de generar esa potencia de la serie por $g^{[1/2]}(x)$, lo que ha coeficientes complejos. Tengo $$ g^{[1/2]}(x) \approx \sqrt{2 x_0} x + (0.20412415 - 0.22379688 i) x^2 + (0.050024298 + 0.048042380 i) x^3 + (-0.022112213 + 0.028383580 i) x^4 + (-0.023623808 - 0.010393981 i) x^5 + (0.00074679924 - 0.021136421 i) x^6 + O(x^7)$$ donde $f^{[1/2]}(x) = g^{[1/2]}(x-x_0) + x_0 $ y el punto fijo es de $x_0 = \exp(i \pi /3 ) \aprox 1/2 + 0.86602540 i $ y $\sqrt{2 x_0}=(1.2247449 + 0.70710678 i) $ . El intervalo de convergencia es pequeño; sin embargo, el uso de Euler-suma (de órdenes complejas) podría llegar a reproducir $f(0)$ $f(1)$ mediante la aplicación de dos veces la media iterativo para alrededor de 6 a 8 corregir dígitos. [actualización 2]

Para una muy básica introducción usted puede probar mi pequeño ensayo en

go.helms-net.de/math/tetdocs

y busque el artículo "continuo funcional iteración".

Answer 4

Para obtener una forma cerrada de la solución (cuando sea posible) usted puede encontrar un flujo de f(x).

Vamos a w(x) de un flujo de f(x).

A continuación, para encontrar que tenemos que resolver una diferencia de la ecuación (llamado Abel ecuación):

$$w(t+1)=f(w(t))$$

En nuestro caso es

$$w(t+1)=1+w(t)^2$$

o a diferencia de la forma,

$$\Delta w + w - w^2-1=0$$

Por desgracia esta de primer orden a diferencia de la ecuación es no lineal en nuestro caso.

Suponiendo que de alguna manera resuelto, usted recibirá $w_C(t)$, una función dependiendo de un parámetro constante C. Luego de tomar C=x y t=1/2 (para el cuadrado iterativo de la raíz), esta será la respuesta.

Answer 5

Una solución puede ser generada a partir de las Abel función $\alpha(z)$ $f(z)=z^2+1$. Si tenemos el Abel de la función, entonces la mitad de recorrer de z puede ser generado como $h(z)=\alpha^{-1}(\alpha(z)+0.5)$ Aunque no es la única solución (ni en mi opinión, el mejor), el más accesible Abel función de la solución se basa en un Boettcher función para el punto fijo en el infinito; escribí un programa el año pasado, que hace que, a partir de la cual los resultados que he publicado anteriormente fueron rápidamente generado. Es más fácil trabajar con la inversa de la Boettcher función, a partir de la cual la inversa Abel función puede ser fácilmente generados. Estoy usando el símbolo $\beta$ para el Boettcher función. El problema es que f(x) tiene un super atraer a punto fijo en el infinito, no es un punto fijo en cero. Así, trabajamos con el recíproco de la $\beta^{-1}$ de la función. Hemos definido la formal $\beta^{-1}$ la función a través de la siguiente relación.

$\beta^{-1}(z^2)=\frac{1}{f( \, 1 \, / \, {\beta^{-1}(z) \, })}$

Primero generar el poder formal de la serie por el recíproco de la función, 1/f(1/z), que permite generar el formal $\beta^{-1}$ de la serie.

$fi(z)=\frac{1}{f(\frac{1}{z})} = z^2 - z^4 + z^6 - z^8 + z^{10} z^{12} ...$

${\beta^{-1}(z^2)}=fi({\beta^{-1}(z)})$

Ahora, todo lo que usted necesita es el poder formal de la serie de los $\beta^{-1}(z)$, junto con la ecuación por el inverso de Abel función, en términos de la Boettcher función, y la ecuación para generar la mitad de recorrer en términos de Abel función, $h(z)=\alpha^{-1}(\alpha(z)+0.5)$.

$\alpha^{-1}(z)=\frac{1}{\beta^{-1}(\exp(-2^{z}))}$

$\beta^{-1}(z)=$

z +
z^ 3*  1/2 +
z^ 5*  5/8 +
z^ 7*  11/16 +
z^ 9*  131/128 +
z^11*  335/256 +
z^13*  1921/1024 +
z^15*  5203/2048 +
z^17*  122531/32768 +
z^19*  342491/65536 +
z^21*  1992139/262144 +
z^23*  5666653/524288 +
z^25*  66211495/4194304 +
z^27*  190532251/8388608 +
z^29*  1112640185/33554432 +
z^31*  3225372323/67108864 +
z^33*  151170463523/2147483648 +
z^35*  440562661907/4294967296 +
z^37*  2583809849479/17179869184 +
z^39*  7558966177753/34359738368 +
z^41*  88836407031661/274877906944...

Así que, esto produce una solución aproximada para el parallelize o $\alpha^{-1}(z)$ de $\exp(2^z)$, que es el parallelize para x^2. Esta aproximación es modificada por la Boettcher función para convertirse exactamente, $\frac{1}{\beta^{-1}(\exp(-2^z)}$. Observe que a medida que z aumenta, $\exp(-2^z)$ rápidamente llega a cero, mientras $|\Im(z)|<\frac{\pi}{2\log(2)}$, y la aproximación para el parallelize se vuelve más y más preciso. Esta es la serie de Taylor centrada de modo que $\alpha^{-1}(0)=2$. $\alpha^{-1}(z)=$

        2.00000000000000000000000
+x^ 1*  1.47042970479728200070736
+x^ 2*  0.762480577752927164660093
+x^ 3*  0.424267970164226197579471
+x^ 4*  0.195424007045383357908720
+x^ 5*  0.0885363745236815506982063
+x^ 6*  0.0359598551892287716903761
+x^ 7*  0.0144792452984198575961554
+x^ 8*  0.00535551113121023140421654
+x^ 9*  0.00201219850895305456107215
+x^10*  0.000694227259952985754369526
+x^11*  0.000244367434796641079018478
+x^12*  0.0000769214480826208320220663
+x^13*  0.0000269925934667063689310974
+x^14*  0.00000813609797954979262652707
+x^15*  0.00000283560192079757251765790
+x^16*  0.000000705532363923839906429084
+x^17*  0.000000277796704124709172266365
+x^18*  0.0000000569382653822375560531824
+x^19*  0.0000000291321329124127631158831
+x^20*  0.00000000199960494407016834679507
+x^21*  0.00000000353966190200798175752179
+x^22* -1.84359576880995872838519 E-10
+x^23*  0.000000000489582426965793452585949
+x^24* -1.69340677715894785103962 E-10
+x^25*  9.49659586691303353973779 E-11
+x^26* -2.92631386240628006146382 E-11
+x^27*  1.88357410017244782298422 E-11
+x^28* -9.69806059398720144574851 E-12
+x^29*  4.16913890865704504495135 E-12
+x^30* -1.73667913416272696484187 E-12
+x^31*  9.23380420463300741831335 E-13
+x^32* -4.74750042625944938044382 E-13
+x^33*  2.15998350305014866568442 E-13
+x^34* -9.49184477375019128289258 E-14
+x^35*  4.68362987742936825161002 E-14
+x^36* -2.44077226697947882519346 E-14
+x^37*  1.15019105307459064415620 E-14
+x^38* -5.06531638741476544065356 E-15
+x^39*  2.48236503924756119664440 E-15

El Abel de la función y su inversa la parallelize=$\alpha^{-1}(z)$, se combinan para producir una solución válida para la mitad de recorrer el uso de métodos numéricos para obtener una serie de Taylor para $h(z)=\alpha^{-1}(\alpha(z)+0.5)$. Yo prefiero la de Cauchy de la integral, para generar cada uno de los coeficientes de la serie de Taylor para la mitad de recorrer. Así que por debajo de este párrafo es la mitad de iterar, generados por poner iteraciones de $x^2+1$ en correspondencia con las iteraciones de la $x^2$ a través de la Boettcher super atraer a punto fijo de infinito/cero. Mi principal razón para preferir la Kneser tipo de solución es que el parallelize generado a partir de la Kneser tipo de solución no tiene singularidades en la mitad superior del plano complejo, donde el Bottcher función solución no es casi tan bien educados, con un número infinito de singularidades $|\Im(z)|$ enfoques $\frac{\pi}{2\log(2)}$. Pero el Kneser solución requiere un mapeo de Riemann por lo que no es tan accesible como este Boettcher función de la solución. En el eje real, ambas funciones son muy parecidas en los valores para cada uno de los otros. No he estudiado la mitad repite de tanto en tanto detalle; aunque el más cercano a la singularidad define el radio de convergencia, $\sqrt{1-a_0}\approx 0.598252 i$, como se señaló en mis comentarios anteriores. Aquí está la mitad de iterar, $h(z)$, $f(z)=z^2+1$. Observe que el radio de convergencia es un poco demasiado pequeño, por lo que $h(h(z))$ no convergen a $z^2+1$.

         0.642094504390828381495363 +
 x^ 2 *  1.00690224867415593906994 +
 x^ 4 * -0.514130215253435435599237 +
 x^ 6 *  0.733302763753911249332061 +
 x^ 8 * -1.32058357980755641903265 +
 x^10 *  2.63883845336820960564369 +
 x^12 * -5.60443025341316030005301 +
 x^14 * 12.4064479200198191890023 +
 x^16 *-28.3152137792182421744708 +
 x^18 * 66.1663983446023842196175 +
 x^20 *-157.550867142011717456622