Argumentos de punto fijo en EDP

Question

Estaba curioso si alguien sabe de algunos ejemplos en EDP donde un argumento de punto fijo estándar no logra mostrar la existencia de una solución pero se puede aplicar uno de los argumentos de punto fijo más avanzados para obtener una solución.

Por punto fijo estándar me refiero a cualquiera de los teoremas de punto fijo en un libro de análisis funcional/EDP principiante y por los más avanzados me refiero a algunas de estas versiones de pseudo contracciones.

gracias

Answer 1

La ecuación gráfica de superficie mínima es un gran ejemplo de una EDP donde se aplica la teoría del punto fijo de Leray-Schauder:

$$ \left(\delta_{ij} - \frac{D_i u D_j u}{1+|Du|^2}\right)D_{ij}u = 0 $$

Esto representa la condición de que $graph(u)$ es una superficie mínima, o en otras palabras, un punto crítico para la funcional de área.

Para superficies en $\mathbb{R}^3$, la existencia de un problema ligeramente más general (problema de Plateau) fue establecida por Douglass-Rado en la década de 1930, utilizando hermosos métodos conformes. Sin embargo, el problema de mayor dimensión requirió la introducción del teorema del punto fijo de Leray-Schauder. Una versión de esto dice

Para $\mathscr{B}$ un espacio de Banach, y $T : \mathscr{B} \times [0,1] \to \mathscr{B$} continuo, compacto y tal que $T(x,0) = 0$ para todo $x \in \mathscr{B}$. Supongamos también que hay algún $M > 0$ tal que si $x = T(x,\sigma)$ para $(x,\sigma) \in \mathscr{B} \times[0,1]$, entonces $$ \Vert x \Vert_\mathscr{B} \leq M.$$ Entonces, hay un punto fijo para $T(\cdot, 1)$.

Una de las razones por las que encuentro este teorema muy interesante es porque en cierto sentido trata las estimaciones a priori simplemente como eso! En otras palabras, ¡nunca necesitas demostrar que una solución a alguna ecuación relajada se cumple o algo por el estilo, solo tienes que mostrar que si hay una solución, entonces tienes algunas estimaciones (y, por supuesto, compacidad).

Para usar esto, definimos el operador $\hat T : C^{1,\beta}(\overline \Omega) \times [0,1] \to C^{2,\beta'}(\overline\Omega) $ como el operador de solución a la EDP lineal, resolviendo para algún $v$ que satisface $$ \left(\delta_{ij} - \frac{D_i u D_j u}{1+|Du|^2}\right)D_{ij}v = 0 \text{ en $\Omega$} $$ $$ v = \sigma \varphi \text{ en $\partial\Omega$} $$ La teoría de existencia lineal muestra que este mapa está bien definido y si luego lo componemos con el mapa $C^{2,\beta'} \hookrightarrow C^{1,\beta}$, tenemos un mapa $T: C^{1,\beta} (\overline\Omega) \times [0,1] \to C^{1,\beta} (\overline\Omega)$, que es compacto porque la inclusión $C^2\to C^{1,\beta}$ lo es.

Además, si $\sigma =0$, la solución $0$ funciona claramente.

Así, para demostrar que Leray-Schauder se aplica, uno debe mostrar que la estimación a priori se cumple. Esto es un poco delicado, así que no entraré en detalles, pero solo mencionaré que se necesitan asumir algunas condiciones geométricas en la frontera (convexidad media). Si estás interesado, puedes encontrar los detalles en Gilbarg-Trudinger, comenzando con la sección 11.3 pero saltando un poco para las diversas cotas.