Dos jugadores de billar, probabilidad de ganar

Question

Tengo lo que parece una pregunta simple, ¡pero ha pasado un tiempo desde que hice algún P/S. Así que vengo a SE en busca de ayuda!

Billar para dos jugadores: P1 tiene probabilidad p de embocar una bola en cualquier lanzamiento y le quedan N bolas, mientras que P2 tiene probabilidad q y le quedan M bolas.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador gane?

Puedo escribir mi razonamiento (y lo haré en una edición - ¡publicaré antes de razonarlo), pero mi respuesta ha quedado así:

$$\sum_{j=0}^{M-1} [p^N q^j \sum_{i=0}^\infty [(1-p)^i (1-q)^i]]$$

¿Es esto correcto o cercano?

Razonamiento:

no realmente un razonamiento teórico, pero extrapolando los casos simples hacia afuera:

(acertar = h, errar = m, con probabilidad p = w/p)

1 bola cada uno: posibles caminos de victoria -

P1 gana w/p,

P1 m w/ (1-p), P2 m w/ (1-q), P1 gana w/ p

... etc - $p \sum_{i=0}^\infty (1-p)^i (1-q)^i$

2 y más bolas cada uno:

En algún momento, todos los aciertos de P1 deben ocurrir - $p^N$

Se deben tener en cuenta todos los posibles aciertos de P2 - $\sum_{j=0}^{M-1} q^j$

Se tienen en cuenta todas las variantes de fallos - * <-- aquí es donde creo que estoy equivocado. ¿Es en realidad una doble suma en sí misma? ¿Es decir $\sum_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty (1-p)^i (1-q)^k$ ?

EDICIÓN: Algunas búsquedas en Wolfram Alpha me muestran que $\sum_{i=0}^\infty (1-p)^i = \frac 1 p$, así que supongo que mi ecuación final final puede simplificarse a

$$\sum_{j=0}^{M-1} \frac{p^N q^j}{pq}$$ ??

etc.

Answer 1

Deje que $P(k)$ denote la probabilidad de que $P_1$ hunda todas las $N$ bolas en el $k-ésimo$ turno (es decir, con exactamente $k-1$ fallos). El último tiro tiene que ser un acierto. Antes de eso hubo $N-1$ aciertos y $k-1$ fallos, que pueden colocarse en cualquier orden. Entonces

$$P(k) = \binom{N+k-2}{N-1}p^{N}(1-p)^{k-1}$$

De manera similar, si $Q(k)$ denota la probabilidad de que $P_2$ hunda todas las $M$ bolas en el $k-ésimo$ turno, entonces

$$Q(k) = \binom{M+k-2}{M-1}q^{M}(1-q)^{k-1}$$

Ahora, para que $P_1$ gane, el número de turnos que toma para terminar no debe ser mayor que el de $P_2$. Entonces, la probabilidad requerida es

$$\sum_{i\leq j} P(i)Q(j)$$

Esto puede no dar una idea rápida sobre el valor de probabilidad, pero computacionalmente, no creo que sea difícil ya que calcular $P(k)$ y $Q(k)$ se puede hacer muy rápido mediante recursión y, aunque es una suma infinita, converge rápidamente. No estoy seguro de si esta es la mejor opción que podemos obtener.