Submódulos y cocientes de módulos finitamente generados

Question

Sea $G$ un grupo abeliano finitamente generado cuya parte libre tiene rango $r$. Sé que cada subgrupo $H$ es finitamente generado y tiene parte libre de rango $s\leq r$, y que también $G/H$ es finitamente generado con parte libre de rango $r-s.

Me preguntaba si esto se extiende también a módulos arbitrarios, o al menos a módulos sobre un PID. No lo encuentro en ninguna parte.

¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿dónde puedo encontrar este teorema?

Answer 1

Esto no se extiende a módulos arbitrarios. Por ejemplo, si $M = \Bbb Z\oplus \Bbb Z$, entonces $G=M$ es un módulo libre de rango 1, pero si dejamos que $H=\Bbb Z$, tenemos $G/H=\Bbb Z$, y ninguno tiene rango libre. Existen otros ejemplos no triviales.

Sin embargo, para módulos sobre un DIP esto sí se cumple, como alguien comentó mientras yo estaba escribiendo una demostración de este hecho de memoria.

Mi demostración:

Si $G$ es un módulo finitamente generado, entonces puede descomponerse como una suma directa de submódulos cíclicos. ¿Cómo puedo derivar de este hecho que un submódulo $H$ de $G$ es finitamente generado?

Supongamos que la rango-libre($G$) es $r$, y $H$ es un submódulo de $G$, con rango-libre($H$)=$s$, digamos que $e_1, \cdots, e_s$ generan la parte libre de $H$. Dado que, por construcción, son linealmente independientes, entonces pueden completarse a un conjunto {$e_i$} de $r$ elementos linealmente independientes de $G. Dado que estos $e_i$ generan un módulo libre de torsión, entonces para $i>s$, $e_i\notin H$. Entonces $H/\langle e_i\rangle\leq G/\langle e_i\rangle$ es un módulo de torsión, y por lo tanto finito, ya que $G$ es finitamente generado. Así que $H/\langle e_i\rangle$ es finito, por lo tanto finitamente generado, y $H\leq\{e_1, \cdots, e_s\}\oplus H/\langle e_i\rangle$ es finitamente generado.

Suponiendo que $H$ es finitamente generado, entonces también $H$ puede descomponerse en una suma directa de módulos cíclicos. ¿De esto, cómo puedo deducir que el cociente (que obviamente es finitamente generado) tiene una parte libre de rango $r−s$?

Para deducir que la parte libre tiene rango $r−s$, simplemente mira el cociente $G_i/H_i$ y suma. Para $\{e_1, \cdots, e_r\}$, este rango será 0, y para {$e_{r+1}, \cdots, e_s$} será 1; para las partes de torsión de $G$ será 0.

Answer 2

Para módulos sobre un DIP $R$ puedes intentar demostrar lo siguiente.

Lema: La clasificación de un módulo finitamente generado $M$ es la dimensión de $M \otimes_R \text{Frac}(R)$, donde $\text{Frac}(R)$ es el cuerpo de fracciones de $R$.

Este es un corolario directo del teorema de estructura. Dado que el tensor con $\text{Frac}(R)$ es exacto, una sucesión exacta corta de módulos finitamente generados se convierte en una sucesión exacta corta de espacios vectoriales sobre $K$, y luego puedes reducirlo a la afirmación correspondiente para espacios vectoriales.

Sobre un anillo conmutativo arbitrario $R$, no está claro qué se debe entender por la clasificación de un módulo finitamente generado. Hay una buena respuesta a esta pregunta bajo la hipótesis adicional de que $M$ es proyectivo y una respuesta bastante buena, aunque no arroja un número único, bajo la hipótesis adicional de que $M$ es plano.