Problema con la desigualdad

Question

Pregunta: Quiero resolver $0<1\frac{an}{mb^2}e^{r(Tt)}<1$, donde $r, a, b, T, t>0$.

La solución es que o bien $$an\leq mb^2$$ o bien $$mb^2\leq an\leq mb^2e^{rT}$$ y $$t< T (\ln(an) \ln(mb^2 ))/r$$.

Mi Intento: Mis pensamientos son que la primera parte $0<1\frac{an}{mb^2}e^{r(Tt)}$ me da $an \leq mb^2$ porque $e^{r(Tt)}>0$, así que tengo la primera parte. La segunda parte $1\frac{an}{mb^2}e^{r(Tt)}<1$ no me da información útil ya que $\frac{an}{mb^2}e^{r(Tt)}>0$ siempre.

¿Cómo obtengo la otra mitad de la solución ($mb^2\leq an\leq mb^2e^{rT}$ y $t< T (\ln(an) \ln(mb^2 ))/r$)?

También me doy cuenta de que el problema que tengo que resolver se reduce a resolver $xy<1$ donde ambos $x,y>0$.

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Combinado de: desigualdad complicada

¿Cómo puedo resolver $0<1\frac{an}{mb^2}e^{r(Tt)}<1$, donde a,b,T>t>0? Llevo atascado aquí durante algún tiempo.

Answer 1

Hay muchas variables innecesarias. Deja

$$\alpha = \frac{an}{mb^2}.\qquad(1)$$

Entonces la desigualdad se convierte en

$$ 0 < 1 - \alpha e^{-r (T - t)} < 1 $$

El primer paso obvio es hacer "1 −" en todas las partes,

$$ 1 > \alpha e^{-r (T-t)} > 0 $$

Dado que el rango de la función exponencial es positivo y < 1 (ya que r > 0 y T > t > 0), podemos asegurar que α es positivo.

Si 0 < α ≤ 1, entonces cada t satisfará la desigualdad (la primera solución).

Así que supongamos α > 1. Ahora es bastante obvio cómo resolver t en términos de r, T y α. Sustituye (1) de nuevo para obtener de vuelta a, n, m y b.

Cosas que puedes considerar:

• ex es estrictamente creciente.