¿Por qué el radián es adimensional?

Question

No puedo entender por qué decimos que los radianes son adimensionales. De hecho, entiendo por qué esto está sucediendo:

theta = longitud del arco / r

Metros/metros desaparecieron y obtenemos esto adimensional. Pero también sabemos que el ángulo 57.3 grados = 1 rad. Entonces, ¿podemos usarlo como dimensión?

En una situación como esta podemos decir que los grados también son adimensionales, porque 1 grado = 1/360 del círculo.

¿Cómo definimos si el valor es adimensional o no? ¿Por qué el metro no es adimensional? ¿Dónde me equivoco en mis conclusiones?

Answer 1

El hecho de que un ángulo sea adimensional es principalmente una cuestión de convención. De hecho, puedes asociar una dimensión con un ángulo y seguir siendo consistente. Sin embargo, algunas fórmulas muy conocidas necesitan ser cambiadas en ese caso.

Por ejemplo, mencionas la longitud del arco como $s = R\theta$. Esto obviamente ya no es homogéneo en dimensiones si $\theta$ no es adimensional. Sin embargo, si recordamos que en realidad $s$ debe ser proporcional al ángulo $\theta$, y que $s=R$ cuando $\theta=1\,\mathrm{rad}$, concluimos que la verdadera forma de esa relación debe ser $$s = R\frac{\theta}{1\,\mathrm{rad}}.$$ (Cuando asumimos que $\mathrm{1\,rad = 1}$ es adimensional, obtenemos la expresión original).

Otra cosa es que ya no podemos alimentar un ángulo directamente a funciones analíticas como seno, coseno, exponencial, etc. De hecho, estas se definen convenientemente mediante una serie de potencias, por ejemplo, $$\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.$$

Si $x$ tiene una dimensión, esta expresión no tiene mucho sentido. Para ser correctos, tendríamos que escribir $\sin(\theta/\mathrm{rad})$ al hablar del seno de un ángulo.

Según mi entendimiento, estas son algunas de las razones por las que se decidió que un ángulo debería mantenerse adimensional. Especialmente ya que los ángulos son relevantes en matemáticas, donde - a diferencia de la física - típicamente no nos importa la dimensionalidad de las cantidades.

¿Cuáles son las ventajas de asignar una dimensión a los ángulos? Principalmente, la dimensionalidad adicional lleva mucha más información. Considera la frecuencia $f$ y la velocidad angular $\omega$. En el sistema SI ambas tienen la misma dimensión, es decir, 1/tiempo. ¡Si el ángulo tuviera su propia dimensión, la unidad de $\omega$ sería $\mathrm{rad/s}$! ¡Podríamos diferenciar estas cantidades en función de sus unidades! Dependiendo de cómo introduzcas la nueva dimensión, el torque y el trabajo también podrían no compartir la misma unidad.

Si estás interesado, aquí tienes un artículo muy legible que explica una posible forma de introducir una dimensión adicional para los ángulos.

Answer 2

Una cantidad es adimensional si tiene las mismas magnitudes en diferentes unidades.

$$1 \text{rad}=\dfrac{1m}{1 m}=\dfrac{1 nm}{1 nm}=\dfrac{1\text{año luz}}{1\text{año luz}}=1 $$ Como has notado, las mismas unidades se cancelan.

Sin embargo, la longitud no lo es tanto.

$$1m=100cm $$

$1\ne 100$ por razones obvias.

Los grados están simplemente definidos para ser adimensionales. No cambian con el tamaño cuando se acerca o se aleja. Sin embargo, la definición del radián de ángulo proporciona una mejor comprensión.

Answer 3

Una calidad adimensional es una medida sin una dimensión física; un número "puro" sin unidades físicas.

Sin embargo, dichas cualidades pueden medirse en términos de "unidades adimensionales", que generalmente se definen como una relación de constantes físicas o propiedades, de manera que las dimensiones se cancelan. Así, la medida en radianes del ángulo como la relación de la longitud del arco a la longitud del radio es una donde las unidades de longitud se cancelan.

Answer 4

Sí, puedes trabajar con ángulos dimensionados.

La fórmula para la longitud del arco es

$$l=\aleph\theta,$$ y la del área de un sector es

$$a=\frac{\aleph\theta r^2}2.$$

La constante universal $\aleph$ está en unidades por ángulo, y $\aleph=1 \text{ rad}^{-1}=0.0174533\cdots\text{ deg}^{-1}$.

Por ejemplo, al considerar un movimiento armónico,

$$e=A\sin(\aleph\omega t)$$ donde $\omega$ está en unidad de ángulo $s^{-1}$ y $e$ en $m$.

$$v=\dot e=A\aleph\omega \cos(\aleph\omega t)$$ está en $ms^{-1}$.

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Otra constante universal que vale la pena conocer:

$$\Pi=3.141593\cdots\text{ rad}=180\text{ deg}.$$

denota el ángulo de apertura de un semicírculo.

Cumple

$$\aleph\Pi=\pi.$$

Por lo tanto, la famosa fórmula de Euler,

$$e^{i\aleph\Pi}=-1.$$

Answer 5

Como señalas, la medición en radianes de un ángulo es la razón entre la longitud de un arco que intercepta el ángulo y la longitud del radio de dicho arco. Dado que tanto la longitud del arco como el radio se miden con unidades de longitud, estas unidades de longitud se cancelan al determinar cuántos radianes tiene un ángulo. Esto es por qué los radianes son adimensionales - no hay una "unidad" que describa qué mide un radián, porque es una razón de dos cantidades diferentes con la misma unidad de medida.

Una medida en grados, sin embargo, es simplemente una proporción diferente; en cambio, es la razón del arco a 1/360 del perímetro del círculo correspondiente al arco.