Teorema del estabilizador de órbitas como un análogo al primer teorema de isomorfismo

Question

Las notas que estoy usando para estudiar teoría de grupos hacen una observación de que otro nombre apropiado para el "teorema del estabilizador de órbitas" es el "primer teorema de isomorfismo para acciones de grupos". Para referencia, aquí están los dos teoremas:

Primer teorema de isomorfismo: sea $\phi: G \to H$ una homomorfismo de grupos con núcleo $K$. Entonces $G / K \cong \text{Imagen}(\phi)$. El isomorfismo está dado por $\psi: G / K \to \text{Imagen}(\phi)$ con $\psi(gK) = \phi (g)$.

Teorema del estabilizador de órbitas: sea $G$ un grupo actuando en un conjunto $X$. Sea $x \in X$. Entonces el mapa $\phi: G / \text{Stab} (x) \to \text{Orb} (x)$ donde $g \: \text{Stab} (x) \mapsto gx$ es una biyección. Además, si $G$ es finito, entonces $|G| = | \text{Stab} (x) | | \text{Orb} (x) |$.

Puedo ver por qué el teorema del estabilizador de órbitas es similar al primer teorema de isomorfismo, especialmente al considerar que el estabilizador fija puntos (es decir, para el estabilizador, la acción del grupo es la misma que la acción identidad), por lo que el estabilizador es una especie de análogo al núcleo. De manera similar, la órbita es un poco como la imagen de un mapa.

Lo que quiero es entender cómo son análogos de una manera más rigurosa, y tal vez si pueden derivarse resultados para acciones de grupos de la misma manera en que se pueden derivar el segundo y tercer teorema de isomorfismo y el teorema de correspondencia del primer teorema de isomorfismo.

Answer 1

Bienvenido a MSE, ¡esta es una gran pregunta!

Digamos que $\phi : G \to H$ es un homomorfismo de grupos.

Luego hay una acción de grupo $G \curvearrowright H$ definida por $g \cdot h = \phi(g) h$, utilizando la multiplicación existente en $H$. Si no es obvio, comprobar que esto realmente es una acción de grupo siempre que $\phi$ sea un homomorfismo de grupos es un ejercicio que vale la pena.

Ahora veamos la órbita y el estabilizador del elemento identidad $e_H$. Podemos calcular

• $\text{orb}_G(e_H) = \text{im}(\phi)$
• $\text{stab}_G(e_H) = \text{ker}(\phi)$

Nuevamente, si estas igualdades no son obvias, ¡son ejercicios excelentes!

Pero ¿qué nos dice el teorema del estabilizador de la órbita en este caso? Nos dice que el mapa $\overline{\phi} : G \big / \text{stab}_G(e_H) \to \text{orb}_G(e_H)$ (es decir, $\overline{\phi} : G \big / \text{ker}(\phi) \to \text{im}(\phi)$) dado por $g \ \text{ker}(\phi) \mapsto g \cdot e_H$ es una biyección. Pero no es difícil ver que esta es la misma función que $g \ \text{ker}(\phi) \mapsto \phi(g)$, ¡que es la biyección del primer teorema de isomorfía!

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

Una forma de pensar en la analogía podría ser la siguiente: el primer teorema de isomorfismo dice que, dado un grupo $G$ puedes construir todas las posibles imágenes de $G$ bajo un homomorfismo de grupo hasta el isomorfismo solo a partir de $G$ y sus subgrupos normales: si $\phi\colon G\to H$ es un homomorfismo de grupo, entonces $\phi(G)$ es isomorfo a $G/K$ donde $K = \ker(\phi)$, y $\phi$ induce el isomorfismo

Si $G$ actúa en un conjunto $X$ y $x \in X$, entonces la órbita de $X$ es "isomorfa" como un conjunto $G$-conjunto a la órbita de su estabilizador $S= \text{Stab}(x)$, siendo este último el conjunto de todos los cocientes de $S$ en $G$, y el "isomorfismo" es inducido por el mapeo de la acción: $gS \mapsto g.x\in X$.

Ambos teoremas así, en cierto sentido, te dicen cómo construir los objetos que estás estudiando (imágenes de $G$, conjuntos transmisivos de $G$ respectivamente) a partir de datos ya contenidos en $G$.

Answer 3

Creo que estos dos teoremas son solo corolarios de lo siguiente.

Sean $X, Y$ conjuntos, $f: X \rightarrow Y$ una función, y $\sim$ la relación de equivalencia en $X$ definida por: para todo $x_1,x_2$, $x_1\sim x_2$ si $f(x_1) = f(x_2)$. Denotemos, para todo $x$, $[x]$ la clase de $x$.

Entonces existe una única función $\tilde{f} : X_{/\sim} \rightarrow f(X)$ tal que para todo $x$, $\tilde{f}([x]) = f(x)$, y además, esta $\tilde{f}$ es una biyección.