Factor mediano de factoriales

Question

¿Cuál es el orden de $m(N)$, el primo mediano en la factorización prima de $N!$, cuando $N\to\infty$? Por ejemplo, $m(6)=2$ porque $6!=2^4\times3^2\times5$ y la mediana de $\{2,2,2,2,3,3,5\}$ es $2$.

Para aclarar, cuando la mediana es ambigua, tomo la media aritmética de los dos términos más centrales.

No estoy seguro de cómo abordar este problema directamente, dada mi incertidumbre con la estadística y su intersección con factoriales y trabajar con encontrar el orden de casi cualquier cosa (hasta ahora no he aprendido notación Big O o cualquier cosa que perciba como relevante para algo así en la escuela).

Sin embargo, produje un gráfico de Desmos mostrando los primeros $32$ casos: https://www.desmos.com/calculator/gew0pvjlfz

Me parece indicar que el factor mediano probablemente aumenta hasta cierto grado a medida que $N$ aumenta en general, aunque claramente no es monótono.

Answer 1

Para cualquier número primo $p\le N$, la multiplicidad con la que $p$ divide a $N$ es igual a $$ \biggl\lfloor \frac Np \biggr\rfloor + \biggl\lfloor \frac N{p^2} \biggr\rfloor + \biggl\lfloor \frac N{p^3} \biggr\rfloor + \cdots = \frac N{p-1} + O\biggl( \frac{\log N}{\log p} \biggr). $$ Por lo tanto, el número total de factores primos de $N!$ es igual a $$ \sum_{p\le N} \biggl( \frac N{p-1} + O\biggl( \frac{\log N}{\log p} \biggr) \biggr) = N \log\log N + O(N) $$ según la fórmula de Mertens para $\sum_{p\le x} \frac1p$ (y omitiendo algunos pasos de simplificación).

Para encontrar el factor primo mediano $M$, necesitamos encontrar $M$ tal que $$ \sum_{p\le M} \biggl( \frac N{p-1} + O\biggl( \frac{\log N}{\log p} \biggr) \biggr) \sim N \frac{\log\log N}2; $$ la respuesta (más fácil de comprobar que de encontrar) es $M \approx e^{\sqrt{\log N}}$. Esta es una tasa de incremento más lenta que cualquier potencia de $N$, pero más rápida que cualquier potencia de $\log N$.

Mi suposición, basada en lo que dijiste en tu publicación original, es que gran parte de esto es matemática que aún no has encontrado. ¡No te desanimes, tienes toda una vida para seguir aprendiendo! Podrías usar esta respuesta como excusa para investigar un poco más sobre teoría analítica de números (tal vez en el libro de Apostol).