Aquí está la declaración del problema (del capítulo $3$ de Álgebra Lineal Hecha Correctamente de Axler).
Dar un ejemplo de un espacio vectorial $V$ y subespacios $U_1,U_2$ de $V$ tal que $U_1 \times U_2$ sea isomorfo a $U_1 + U_2$, pero $U_1 + U_2$ no sea una suma directa.
Pista: el espacio vectorial $V$ debe ser de dimensión infinita.
Los únicos espacios vectoriales de dimensión infinita mencionados en el libro hasta este punto son $\mathbb{F}^{\infty}$ y $P(\mathbb{R})$.
Intenté construir un ejemplo usando $\mathbb{F}^{\infty}$ dejando que $U_1$ sea el espacio generado por las bases estándar $\{e_{2n}\}$ y $U_2$ sea el espacio generado por $\{e_{2n-1}\}$. Parece que al menos uno de los $U_i$ debe ser de dimensión infinita, de lo contrario el ejemplo podría ser construido con $V$ de dimensión finita.
Existe un isomorfismo entre $U_1 \times U_2$ y $U_1 + U_2$, pero $U_1 \cap U_2 = \{0\}$ por lo que tenemos una suma directa, lo cual es lo que estamos tratando de evitar. No estoy seguro de cómo proceder desde aquí.
