Definición alternativa de número primo

Question

Conozco la definición de número primo cuando se trata de enteros, pero no puedo entender por qué la siguiente definición también funciona:

Un número primo es una cantidad $p$ tal que cuando $p$ es un factor de algún producto $a\cdot b$, entonces o bien $p$ es un factor de $a$ o $p$ es un factor de $b$.

Por ejemplo, toma $4$ (que claramente no es primo): es un factor de $16=8\cdot 2$, entonces debería verificar que o bien $4\mid 8$ o $4\mid 2. Pero $4\mid 8$ es cierto. Así que $4$ es un primo, lo cual es absurdo.

Por favor ten en cuenta que el inglés no es mi primer idioma, por lo que fácilmente puedo haber malentendido la definición anterior.

Editar: Déjame intentar formalizar la definición como la entendí: $p$ es primo si y solo si $\exists a\exists b(p\mid a\cdot b)\rightarrow p\mid a\lor p\mid b$.

Answer 1

Tenga en cuenta que esto es siempre.

$4|4 = 2\cdot 2$ sin embargo $4\nmid2$.

Para la pregunta editada:

¡No! La palabra "siempre" viene a decir que $p$ es primo si $\forall a \forall b (p | a\cdot b \Rightarrow (p | a \vee p | b))$

Answer 2

Si estás dispuesto a aceptar el teorema fundamental de la aritmética (que puede ser demostrado por métodos elementales, es decir, "libres de ideales", ver el enlace) que establece que cualquier entero diferente de $\pm 1$ se puede escribir como un producto único (sin tener en cuenta el orden de los factores) de números primos, entonces la equivalencia de ambas definiciones de números primos

$$ (\ m \vert p \ \Longrightarrow \ m = \pm 1 \ \text{or} \ \pm p \ ) \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\ p \vert ab \ \Longrightarrow \ p \vert a \ \text{or} \ p \vert b \ ) $$

es clara:

[Advertencia. Si te sientes más cómodo trabajando solo con números enteros positivos, entonces simplemente elimina esos $\pm$ en toda esta respuesta.]

$(\Longrightarrow)$ Si $p\vert ab$, entonces $ab = pq$ para algún entero $q$. Dado que tanto $ab$ como $pq$ se pueden escribir de forma única como un producto de números primos, $p$ debe ser un factor primo de $ab$. Pero los factores primos de $ab$ necesariamente son factores primos de $a$ o $b, nuevamente por la unicidad del teorema fundamental de la aritmética. Así que, $p$ es necesariamente un factor primo de $a$ o $b$; es decir, $p\vert a$ o $p\vert b$.

$(\Longleftarrow)$ De nuevo, si $m\vert p$, todos los factores primos de $m$ deben ser factores primos de $p$. Pero los únicos factores primos de $p$ son $\pm p$. Así que, o bien $m = \pm p$ o $m=\pm 1$.

Por supuesto, hay un pequeño (¿gran?) argumento circular aquí, porque uno ya usa la implicación $(\Longrightarrow)$ en la demostración del teorema fundamental de la aritmética. Esta implicación se llama Lema de Euclides. Pero también se puede demostrar mediante métodos elementales, que se basan en la identidad de Bézout (con prueba elemental también: ver el último enlace).

Entonces, como puedes ver, todo es elemental, pero quizás demasiado extenso para una sola respuesta y para recordar de una sola vez. Mientras razonar usando el teorema fundamental de la aritmética puede ser visto como un pequeño atajo más fácil de recordar la próxima vez que tengas alguna duda sobre la equivalencia de ambas definiciones de número primo.

(De hecho, un número que cumple la condición del lado izquierdo se llama "irreducible", mientras que $p$ en el lado derecho se llama "primo". Entonces "primo = irreducible", al menos para números enteros.)

Answer 3

Por lo que yo sé, tu definición

Un primo es un elemento p tal que cuando p divide ab, entonces p divide a o p divide b,

es la verdadera definición de "primo". La habitual,

... un elemento p que no puede ser expresado como un producto de elementos no unidades,

es la definición de un elemento irreducible. Ahora, en todo anillo todos los primos también son irreducibles, pero la inversa no es generalmente cierta. En otras palabras, hay anillos donde las dos definiciones no son equivalentes. Un caso en el que son verdaderamente equivalentes es cuando el anillo es un dominio de factorización única (la afirmación del llamado "teorema fundamental de la aritmética" es que los enteros forman uno de esos anillos).

Answer 4

Te has encontrado la definición general anillotécnica de un elemento primo (versus irreducible). Para anillos generales distinguimos entre las propiedades inequivalentes de ser irreducible, es decir, no tener factores no triviales, y ser primo, es decir, un no unidad tal que si divide un producto entonces divide algún factor del producto. La última propiedad es clave para la unicidad de las factorizaciones en irreducibles ya que uno fácilmente demuestra por inducción que los productos de primos se factorizan de manera única en cualquier dominio (es decir, un anillo tal que $\rm\; ab = 0 \;\Rightarrow\; a=0\ \ or\ \ b=0)$.

A continuación se presentan las definiciones estándar, las cuales hemos formulado de manera que sea bastante $\rm\color{#c00}{obvio}$ que los primos son irreducibles. Sean $\, a,b,p\,$ elementos de un dominio $R$.

Teorema $\ (1)\,\Rightarrow\,(2)\!\iff\! (3)\ $ a continuación, $ $ para un no unidad $\,p\neq 0\,$ en un dominio integral $R$.

$(1)\ \ \ \color{#c00}{p\ \mid\ ab}\ \Rightarrow\ p\:|\:a\ \ {\rm or}\ \ p\:|\:b\quad$ [Definición de $\:p\:$ es primo]

$(2)\ \ \ \color{#c00}{p=ab}\ \Rightarrow\ p\:|\:a\ \ {\rm or}\ \ p\:|\:b\quad$ [Definición de $\:p\:$ es irreducible, en forma de asociado]

$(3)\ \ \ p=ab\ \Rightarrow\ a\:|\:1\ \ {\rm or}\ \ b\:|\:1\quad$ [Definición de $\:p\:$ es irreducible en forma de $\rm\color{#0a0}{unidad}$]

Prueba $\ \ \ (1\Rightarrow 2)\,\ \ \ \color{#c00}{p = ab\, \Rightarrow\, p\mid ab}\,\stackrel{(1)}\Rightarrow\,p\mid a\:$ o $\:p\mid b.\ $ Por lo tanto primo $\Rightarrow$ irreducible.

$(2\!\!\iff\!\! 3)\ \ \ $ Si $\:p = ab\:$ entonces $\:\dfrac{1}b = \dfrac{a}p\:$ así que $\:p\:|\:a\iff b\:|\:1.\:$ Similarmente $\:p\:|\:b\iff a\:|\:1.$

Recíprocamente $ $ irreducible $\Rightarrow$ primo $ $ si $ $ las factorizaciones en irreducibles son únicas (hasta el orden y los asociados = múltiplos de unidades). De hecho, es muy fácil de demostrar que una factorización en primos es única, es decir, cualquier otra factorización en irreducibles es la misma (hasta el orden y los asociados), exactamente como en la demostración clásica del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Answer 5

Para $p = 6$, $6|(12 \times 48)$ y $6|12$, pero ... $6 \not\in Primos$.

En otras palabras, esta "definición" es demasiado amplia, incluye algunos compuestos (números que no son primos). La verdad es que realmente no es una definición. Una definición, en el sentido real, se ve así Número primo es un número con exactamente $2$ factores que es $N \space es \space primo \iff N \space tiene \space exactamente \space 2 \space factores$. El "$\iff$" es crítico, significa que la definición elige primos y solo primos (ni demasiado amplia, ni demasiado estrecha).

Sin embargo, en matemáticas, he notado, podemos jugar con definiciones por ejemplo hay Primos de Fermat, y aunque los primos de Fermat son primos, eligen solo un subconjunto de todos los primos (demasiado estrechos, en términos de definición) es decir, tienen el problema opuesto al tuyo.

Tal vez podamos hacer esto:

$F = \{x: x \space es \space un \space primo \space de \space Fermat \}$ (demasiado estrecho) $U = \{x: x \space es \space un \space primo \space um5 \}$ (nombrado en tu honor OP) (demasiado amplio)

$P = \{x: x \in Primos\}$

$P = U \otimes F$ donde $\otimes$ es alguna nueva operación en conjuntos que tiene el efecto de aislar los primos.

$P = U \otimes F = (U - C) \cup F$, donde $C = compuestos$