¿Cómo demostrarías que $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} d & c \\ b & a \end{bmatrix}$ son similares? Sus polinomios característicos son idénticos, pero esto no es suficiente, y sin calcular realmente los eigenvectores y las dimensiones de los eigenspaces parece que no podemos usar la forma de Jordan.
En general, ¿cómo determinarías que dos matrices son similares sin cálculos numéricos, simplemente basándote en relaciones entre sus entradas?
Gracias de antemano.
Solo es necesario exhibir una matriz de similitud.
Sea $P=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$. Observa que $P=P^{-1}$.
Considera $P\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}P=\begin{bmatrix}d&c\\b&a\end{bmatrix}.$ Por lo tanto, tus dos matrices son similares.
En general, determinar la similitud entre dos matrices implica cálculos de una forma u otra. Si no quieres usar la JCF o RCF, debes tener en cuenta la estructura/patrón en las entradas de las matrices que estás comparando. Se puede explotar dichos patrones. En particular, en este problema, observé que las entradas de una matriz simplemente se mueven a nuevas posiciones y no se suman a lo largo de filas o columnas. Trabajé alrededor de esa observación.
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