¿Converge $x_n(t) = nte^{-nt}$ en $(C[0,1],d_\infty)$?

Question

Sea $X = C_b[0,1]$ el conjunto de funciones continuas y acotadas en $[0,1]$, y $d_\infty (x,y) = \max_{0 \leq t \leq 1} \lvert x(t) - y(t) \rvert$ una métrica en $X$. ¿Converge $x_n(t) = nte^{-nt}$ en $(X,d_\infty)$?

Mi instinto me dice que no. Lo que he hecho es que $x_n$ converge puntualmente a $0$, y que $$ d_\infty(x_n(t),0) = \dots = e^{-1} \in X $$ con reservas por posibles errores. Lo que realmente quiero demostrar es que la función a la que converge es no acotada o no continua (por lo que la secuencia no converge). Estoy muy confundido si esto me lleva a ninguna parte, así que cualquier pista y dirección son apreciadas.

Answer 1

Tienes razón, $(x_n)$ no converge en $(X,d_\infty)$. Todo lo que te queda por mostrar es que $\lim_{n\to \infty} d_\infty(x_n,0) \neq 0$. Fija $n\ge 1$. La función $x_n(t)$ tiene un punto crítico único en $t = 1/n$ y $$x_n''(1/n) = n^2e^{-nt}(-2 + nt)\bigg|_{t = 1/n} = -n^2e^{-1} < 0$$ así que por el test de la segunda derivada, $x_n(t)$ tiene un máximo relativo en $t = 1/n$. Dado que $x_n(0) = 0$ y $x_n(1) = ne^{-n} < e^{-1}$, $x_n(t)$ tiene un máximo global en $t = 1/n$ con un valor máximo de $e^{-1}$. Por lo tanto, $d_\infty(x_n,0) = e^{-1}$, lo cual no converge a $0$.

Answer 2

Aunque ese espacio métrico es cerrado, tu secuencia de funciones no es una secuencia de Cauchy.

Como señalas, el límite puntual es la función cero. Sin embargo, $f_n$ no converge en la métrica $d_\infty$ a $0$ ya que $d_\infty (x_n,0) = e^{-1}$ para todo $n$.

Answer 3

Dado que converge puntualmente a $0$, la única función a la que podría converger en la métrica $d_\infty$ es $0$. Pero, como dijiste, la distancia desde $x_n$ a $0$ es $e^{-1}$, que no tiende a $0. Por lo tanto, eso te dice que no converge en la métrica $d_\infty$.