Usando la ley de De Moivre para calcular $(-\sqrt3+i)^{2/3}$

Question

Pregunta:

Si $z=-\sqrt{3}+i$, entonces $z^{2 / 3} = ?$

Mi trabajo (que está mal pero no estoy seguro de por qué):

Podemos escribir $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ $$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$$ $$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{5\pi}{6} \quad (*)$$ Por lo tanto $$z = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) $$ así que (aplicando De Moivre's) $$ z^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \left(\cos\left(\frac{5\pi}{9}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{9}\right) \right)$$

Sin embargo, la respuesta es aparentemente:

$$-2^{2 / 3} \sin \left(\frac{\pi}{18}\right)+i 2^{2 / 3} \cos \left(\frac{\pi}{18}\right)$$

1. ¿Cómo se llega a la respuesta dada?

2. Perdona mi recuerdo de trigonometría de la secundaria. En $(*)$ entiendo que podemos sacar el negativo de $\tan^{-1}$ resultando en $$\theta=-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$

lo que resulta en un $\theta$ diferente al que tenía. Mi intuición de por qué $\theta =\frac{5 \pi}{6}$ es porque $\frac{-1}{2} \div \frac{\sqrt{3}}{2}$ ya que $\sin \frac{5 \pi}{6} = -\frac{1}{2}$ y $\cos \frac{5 \pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Pero no estoy seguro si este es el razonamiento correcto

Answer 1

Olvidaste $i$ al escribir $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$. La arcotangente fue calculada correctamente, así que $$ z = 2\left(\cos(\frac{5}{6}\pi) + i \sin(\frac{5}{6}\pi)\right), $$ $$ z^{2/3} = 2^{2/3}\left(\cos(\frac{5}{9}\pi) + i \sin(\frac{5}{9}\pi)\right). $$

Ahora algo de triginometría: $$ \cos(\frac{5}{9}\pi) = \cos(\frac{1}{2}\pi + \frac{1}{18}\pi) = -\sin(\frac{1}{18}\pi). $$ De manera similar, $$ \sin(\frac{5}{9}\pi) = \cos(\frac{1}{18}\pi), $$ y así llegas a la respuesta.