Número de Triángulos Inscritos Diferentes en un Círculo con un Número Dado de Puntos Equidistantes en Él

Question

¿Existe una fórmula para calcular el número de triángulos inscritos diferentes en un círculo con un número dado de puntos equidistantes en él? Por "diferente" quiero decir que un triángulo no puede ser rotado ni reflejado en otro.

Considere el siguiente ejemplo: Si hay $10$ puntos, la respuesta es $8$ triángulos;

Nota: He echado un vistazo a encontrar el número de triángulos inscritos en un círculo pero no es exactamente lo que quiero. La fórmula dada es para todos los triángulos, independientemente de la rotación o reflexión.

Answer 1

Si hay $n$ puntos equidistantes en el círculo, entonces los tres lados de tu triángulo cruzan $a$, $b$ y $c$ puntos, donde $a+b+c=n$. Dado que estás identificando reflexiones y rotaciones, permutaciones de $(a,b,c)$ representan el mismo triángulo. Así que deseas el número de particiones de $n$ en exactamente tres partes. Esto es bastante conocido; por ejemplo, mira esta derivación o esta pregunta. La expresión más simple parece ser por casos basados en $n$ (mód $6$): $$f(n) = \begin{cases} n^2/12 &\qquad&n\equiv 0 \text{ mod 6} \\ n^2/12 - 1/12 &\qquad& n\equiv 1 \text{ mod 6} \\ n^2/12 - 1/3 &\qquad& n\equiv 2 \text{ mod 6} \\ n^2/12 + 1/4 &\qquad& n\equiv 3 \text{ mod 6} \\ n^2/12 - 1/3 &\qquad& n\equiv 4 \text{ mod 6} \\ n^2/12 - 1/12 &\qquad& n\equiv 5 \text{ mod 6} \\ \end{cases}$$ Más brevemente, $f(n)$ es el entero más cercano a $n^2/12$.