He demostrado que si $\mathcal{A}$ es un álgebra de Banach unitaria y $r>0$, $x,y$ son elementos conmutativos en $\mathcal{A}$ tales que $\Vert x - y \Vert < r$ entonces $\sigma_\mathcal{A}(y) \subseteq B_r (\sigma_\mathcal{A}(x)):=\bigcup_{t\in \sigma_\mathcal{A}(x)}B_r(t).$ Lo que estoy buscando ahora es un contraejemplo para mostrar que esto no se cumple en general para elementos no conmutativos. Sin embargo, a pesar de esperar encontrar contraejemplos buenos y fáciles en $M_n(\mathbb{C})$, no he podido encontrar ninguno. ¿Existen, o necesito mirar un álgebra de Banach más desagradable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea $x=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{\epsilon} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $y=x +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$. Entonces $x$ tiene espectro $\{ 0 \}$, $y-x$ tiene norma de orden $1$ y $y$ tiene un autovalor de orden $\frac{1}{\epsilon}$. Por lo tanto, para $\epsilon$ suficientemente pequeño, se viola la inclusión deseada.
Observación: este comportamiento es imposible si $x$ es una matriz normal (o incluso un elemento normal de un álgebra $C^*$). Esto se debe a que el resolvente de $y$ admite una serie geométrica en potencias de $(x-z)^{-1}(y-x)$ y para $x$ normal, $\| (x-z)^{-1} \|$ está acotado por el inverso de la distancia entre el escalar $z$ y el espectro de $x$. Por lo tanto, para $\| y-x \| $ más pequeño que esta distancia, la serie converge, y por lo tanto $z$ está en el conjunto del resolvente.
