Una desigualdad sobre la suma de las distancias entre los puntos : mismo color $\le$ diferentes colores?

Question

Cuando estaba dibujando algunos puntos sobre el papel y estudió las distancias entre ellos, me encontré con que una desigualdad se cumple para todos los conjuntos de puntos.

Supongamos que tenemos $2$ azul puntos $b_1,b_2$ $2$ rojo puntos $r_1,r_2$ en el plano Euclidiano. A continuación, usando la desigualdad triangular, es fácil ver que la siguiente desigualdad siempre se tiene :

$$\text{the sum of Euclidean distances between points in the same color}\le\text{the sum of Euclidean distances between points in different colors},$$ es decir,

$$d(\color{blue}{b}_1,\color{blue}{b}_2)+d(\color{red}{r}_1,\color{red}{r}_2)\le d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_2)\tag1$$where $d(p,q)= \sqrt{(p(x)-p(x))^2 + (q(y)-p(y))^2}$ is the Euclidean distance between two points $p(p(x),p(y))$ and $q(q(x),q(y))$.

Sin embargo, su generalización es difícil para mí.

Pregunta : Vamos A $n\ge 3$. Supongamos que tenemos $n$ azul puntos $b_1,b_2,\cdots,b_n$ $n$ rojo puntos $r_1,r_2,\cdots,r_n$ en el plano Euclidiano. Entonces, podemos decir que la siguiente desigualdad siempre se mantiene? $$\text{the sum of Euclidean distances between points in the same color}\le\text{the sum of Euclidean distances between points in different colors},$$ es decir, $$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}d(\color{blue}{b}_i,\color{blue}{b}_j)+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}d(\color{red}{r}_i,\color{red}{r}_j)\le\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(\color{blue}{b}_i,\color{red}{r}_j)$$

Hasta ahora, no he sido capaz de encontrar ningún contraejemplo, por lo que parece que esta desigualdad se sostiene siempre. Sin embargo, he estado en la dificultad, incluso en el $n=3$ de los casos. Para el $n=3$ de los casos, utilizando el resultado de la $n=2$ de los casos varias veces, podemos obtener $$3\left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=i+1}^{3}d(\color{blue}{b}_i,\color{blue}{b}_j)+\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=i+1}^{3}d(\color{red}{r}_i,\color{red}{r}_j)\right)\le 4\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}d(\color{blue}{b}_i,\color{red}{r}_j)\tag2$$ Pero esto no parece ayudar. Alguien puede ayudar?

Agrega 1 : Inducción no parece ayudar. Como he escrito, el resultado del caso $n=2$ no parece ayudar para el caso de $n=3$.

Añadido 2 : Para el caso de $n=2$, he utilizado la desigualdad triangular. (lo siento, yo no escribo los detalles porque lo que yo estoy preguntando es por $n\ge 3$.) Sin embargo, parece que la desigualdad triangular no ayuda para $n\ge 3$.

Añadido 3 : El siguiente es cómo obtuve $(2)$$(1)$. De$(1)$, $$d(\color{blue}{b}_1,\color{blue}{b}_2)+d(\color{red}{r}_1,\color{red}{r}_2)\le d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_2)$$

$$d(\color{blue}{b}_1,\color{blue}{b}_2)+d(\color{red}{r}_2,\color{red}{r}_3)\le d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_3)$$

$$d(\color{blue}{b}_1,\color{blue}{b}_2)+d(\color{red}{r}_3,\color{red}{r}_1)\le d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_1)$$

$$d(\color{blue}{b}_2,\color{blue}{b}_3)+d(\color{red}{r}_1,\color{red}{r}_2)\le d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_2)$$

$$d(\color{blue}{b}_2,\color{blue}{b}_3)+d(\color{red}{r}_2,\color{red}{r}_3)\le d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_3)$$

$$d(\color{blue}{b}_2,\color{blue}{b}_3)+d(\color{red}{r}_3,\color{red}{r}_1)\le d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_2,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_1)$$

$$d(\color{blue}{b}_3,\color{blue}{b}_1)+d(\color{red}{r}_1,\color{red}{r}_2)\le d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_2)$$

$$d(\color{blue}{b}_3,\color{blue}{b}_1)+d(\color{red}{r}_2,\color{red}{r}_3)\le d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_2)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_3)$$

$$d(\color{blue}{b}_3,\color{blue}{b}_1)+d(\color{red}{r}_3,\color{red}{r}_1)\le d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_3,\color{red}{r}_1)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_3)+d(\color{blue}{b}_1,\color{red}{r}_1)$$

La adición de estos da $(2)$. Sin embargo, $(2)$ no parece ayudar.

Answer 1

Considerar todos los su $2n$ puntos, azul y rojo, como punto de cargos, cada uno de ellos tener un cargo $q_k=\pm1$ y sentado en la posición $\vec{x}_k$, puntos azules cargo $+1$ y en rojo los puntos de $-1$. Su problema se reduce a probar que la siguiente "energía potencial" $U$ es siempre no negativo: $$ U(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{2n})=-\sum_{\stackrel{\scriptstyle i,j}{i<j}} q_iq_j|\vec{x}_i-\vec{x}_j|. $$ La fuerza derivada de tal potencial es peculiar: dos puntos de un mismo color se repelen entre sí con una unidad de fuerza dirigido a lo largo de la línea recta de unirse a ellos, mientras que los puntos de color diferente se atraen el uno al otro de la misma manera, independientemente de su distancia.

La energía potencial tiene un mínimo cuando la fuerza total $\vec{F}_{tot}$ se desvanece. La única manera de organizar nuestros cargos, de modo que $\vec{F}_{tot}=0$ es cuando cada punto azul está acoplado con un punto rojo, compartiendo ambos la misma posición. Pero, a continuación,$U=0$, por lo que es el mínimo de la energía potencial.

No sé si todo esto se puede convertir en una rigurosa prueba, pero espero que este enfoque puede dar una mayor comprensión.