Encontrar el máximo de una función en un conjunto cerrado

Question

Necesito encontrar el máximo de la función $\ f(x, y, z) = y $ en el siguiente conjunto cerrado:

$\ y^2+x^2 + z^2 = 3 $

$\ y+ x + z=1$

Pero no tengo ni idea de cómo hacerlo ...

De manera trivial puedo obtener que

$\ 0 < \max(f) < \sqrt{3} $.

¿Puedes darme algunos consejos sobre cómo resolver este tipo de problema?

Answer 1

Prefiero maximizar $z$, la visualización es más familiar, ya que $z$ está "arriba".

Piensa en cómo el plano $x+y+z=1$ se encuentra con la esfera $x^2+y^2+z^2=3$. Nota que el plano tiene simetría $x$-$y$.

El punto más alto en el círculo de intersección tiene $x=y$. Así que en el máximo tenemos $z^2+2x^2=3$, $z+2x=1$. Resolvamos para $z$. Obtenemos $z=5/3.

Agregado: La geometría es clara, pero aquí hay un respaldo algebraico. Tenemos $x^2+y^2=3-z^2$ y $x+y=1-z$. Por lo tanto,
$$(x-y)^2=2(x^2+y^2)-(x+y)^2=(6-2z^2)-(1-2z+z^2)=5+2z-3z^2.$$ Dado que $5+2z-3z^2=(5-3z)(1+z)$, y $(x-y)^2 \ge 0$, concluimos que $$(5-3z)(1+z)\ge 0.$$ Estamos interesados en $z$ positivo, por lo que $5-3z \ge 0$, lo que significa que $z\le 5/3$, con igualdad cuando $x=y$.

Comentario: Acerca de cómo resolver "este tipo de problema", depende de qué tan ampliamente se interprete "este tipo". Las únicas técnicas bastante generales son numéricas. Para ciertas clases restringidas de problemas, los Multiplicadores de Lagrange pueden ser útiles. Aquí aprovechamos la simetría. Especial, quizás, pero muchos problemas físicamente importantes tienen simetrías naturales.

Answer 2

Puedes intentar usar multiplicadores de Lagrange. Alternativamente, ten en cuenta que la intersección de una esfera con un plano (cuando no es trivial) es un círculo. Encuentra una representación paramétrica de ello. Puede ser útil tener en cuenta que los vectores $(1, 1, 1)$, $(1, 0, -1)$ y $(1, -2, 1)$ son ortogonales.