¿Por qué es $\omega^{\omega}$ numerable?

Question

Estoy confundido acerca de por qué $|\omega^{\omega}| \neq \aleph_0^{\aleph_0}$. Desde

\begin{align} \omega^{\omega} = \left\lbrace \sum_{i < \omega}^{1} (\omega^i \cdot n_i) + n_0 : n_i,n_0 \in \mathbb{N}_0 \right\rbrace \end{align}

¿no se seguiría que $|\omega^{\omega}|$ puede ser representado por un árbol de $\aleph_0$ con un número de nodos de $\aleph_0$? Si es así, entonces seguramente $|\omega^{\omega}|$ debe ser igual a $\aleph_0^{\aleph_0}$.

NOTA: para la ecuación de visualización, tuve que intercambiar los límites inferiores y superiores, porque para cualquier par de números ordinales $\alpha$, $\beta$, tal que $\beta > \alpha$ y $\beta \geq \omega$, $\alpha + \beta = \beta$. Solo para ser claro

\begin{equation} \sum_{i < \omega}^{1} (\omega^i \cdot n_i) = \cdots \omega^2 \cdot n_2 + \omega \cdot n_1 \end{equation}

Answer 1

No, $\omega^\omega$ es el conjunto de aquellos que pueden ser representados como secuencias finitas. Es decir, un ordinal por debajo de $\omega^\omega$ es un polinomio en $\omega$. Entonces, en efecto, $\omega^\omega$ es la forma natural de representar $\Bbb N[x]$, que por supuesto es contable.

Por lo tanto, no corresponde a las ramas en un árbol de altura $\omega$, sino más bien a cadenas finitas en ese árbol.