Prueba $\sum\limits_{z=r}^{\infty}\begin{pmatrix}z\\r\end{pmatrix}p^r(1-p)^r=\dfrac{1}{p}$

Question

¿Cómo probar $$\sum\limits_{z=r}^{\infty}\begin{pmatrix}z\\r\end{pmatrix}p^r(1-p)^{z-r}=\dfrac{1}{p},$$ con $0?

No tengo idea. Solo conozco el teorema binomial, se parece a la serie anterior. $$\sum\limits_{x=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}a^{n-x}b^x=(a+b)^n,$$ Entonces, ¿cómo probarlo?

Answer 1

Podemos comenzar con una identidad similar:

$$ \sum_{z=r}^{\infty} \binom{z-1}{r-1} p^r (1-p)^{z-r} = 1$$

Una forma de demostrar esta identidad es considerar un experimento donde repetidamente lanzamos una moneda que tiene una probabilidad $p$ de caer en cara, y registramos el número de lanzamientos necesarios para obtener $r$ caras. Los términos de la serie representan la probabilidad de que se necesitaran $z$ lanzamientos para obtener $r$ caras, y claramente la suma sobre $z\geq r$ es igual a $1.$

Aplicando este resultado, junto con la identidad $\binom{z}{r} = \binom{z-1}{r-1} + \binom{z-1}{r}$ muestra que la suma es igual a

$$ 1 + \frac{1-p}{p} = \frac{1}{p}$$

Answer 2

Pista: \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+r}{r} p^n = \frac{1}{(1-p)^{r+1}}. \end{eqnarray*} Probablemente necesitas revisar cuidadosamente cómo llegaste a la fórmula indicada en la pregunta.