Sobre la existencia de una función

Question

$ p $ es un polinomio tal que $\deg(p)\geq 1$ y $ p(x)>0 $ siempre que $ x\geq 0 $. ¿Cómo se puede demostrar que no existe una función $ f $ que cumpla las siguientes dos propiedades:

(1) $ f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ y $ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^r+p(f(x))} $ para $ x\geq \frac{\pi}{2}$ y $ r>1 $

(2) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$

Answer 1

Se puede dividir en varios pasos:

1. $f'(\pi/2)>0$, para que $f$ sea creciente en un intervalo $[\pi/2,\pi/2+\delta)$, $\delta>0$.
2. $f$ es creciente y $p(f(x))>0$ en $[\pi/2,\infty)$.
3. $0\le f'(x)\le x^{-r}$ en $[\pi/2,\infty)$.
4. Integrar la última desigualdad.