Encuentra la dimensión de la intersección y la suma de dos subespacios vectoriales

Question

Intenté resolver el siguiente ejercicio:

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$, considera el subespacio V dado por las soluciones del sistema $\begin{cases} x+2y+z=0\\ -x-y+3t = 0 \end{cases}$

y el subespacio $W$ generado por los vectores:

$w_1 = \begin{pmatrix} 2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$ y $w_1 = \begin{pmatrix} 3\\-2\\-2\\0 \end{pmatrix}$

Calcula $\dim (W\cap W)$ y $\dim (V + W)$.

Si calculo primero la dimensión de $V\cap W$, escribiendo $W$ como un sistema de ecuaciones, obtengo $\dim (V\cap W) = 1$, y mediante la fórmula de Grassmann puedo concluir que $\dim (V + W) = 3$.

Si intento hacer lo contrario, encontrando una base de $V+W$ primero, no logro llegar al mismo resultado. Siempre obtengo cuatro vectores linealmente independientes, lo que implicaría que la intersección de los dos subespacios es vacía.

¿Qué piensas que estoy haciendo mal?

Answer 1

El primer subespacio $U$ está dado por $\begin{cases}x+2y+z=0\\-x-y+3t=0 \end{cases}$, entonces $x=-2y-z$ y $t=\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}=-\dfrac{y}{3}-\dfrac{z}{3}$.
Esto muestra que tenemos un subespacio vectorial de dimensión dos dado por: $$U=\langle u_1,u_2\rangle=\langle\begin{pmatrix}-6\\3\\0\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\0\\3\\-1 \end{pmatrix}\rangle.$$ Luego tenemos el segundo subespacio $W$ generado por $w_1=\begin{pmatrix}2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$ y $w_2=\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\\0 \end{pmatrix}$. Si queremos encontrar la dimensión del subespacio $U+W$ tenemos que estudiar el número de vectores linealmente independientes: $$\begin{pmatrix}-6&-3&2&3\\3&0&0&-2\\0&3&1&-2\\-1&-1&1&0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-6&-3&2&3\\0&-2&2&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}\implies \text{dim}(U+W)=3$$ por lo tanto está generado por los tres vectores $u_1,u_2$ y $w_1$.
En este punto sabemos que $\text{dim}(U\cap W)=2+2-3=1$ y es fácil ver que el vector $(5,-2,-1,1)^T\in U\cap W$ (resolviendo el sistema $\alpha u_1+\beta u_2=\gamma w_1+\delta w_2$)