Mostrar que el grupo de todos los automorfismos de $F[x]$ que dejan fijos a todos los elementos de $F$, consiste en las sustituciones dadas por $x \mapsto a x+b$

Question

Estoy haciendo el Ejercicio 4 en el libro de Álgebra de Saunders MacLane y Garrett Birkhoff.

Demuestra que, si $F$ es un campo, el grupo de todos los automorfismos de $F[x]$ que dejan fijos todos los elementos de $F$, consiste en sustituciones dadas por $x \mapsto a x+b, a \neq 0$ y $b$ en $F$.

¿Podrías verificar si mi comprensión es correcta? ¡Muchas gracias por tu ayuda!

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Mi intento:

Considera un mapeo $f: \sum a_n x^n \mapsto \sum a_n (ax+b)^n$. Basta con demostrar que $f$ es un automorfismo. Es trivial mostrar que es un homomorfismo. Por lo tanto, queda por demostrar que es biyectivo.

Sea $p = \sum a_n x^n\in F[x]$. Por división de polinomios, existen polinomios únicos $q_1,r_1$ tales que $p = (ax+b)q_1+r_1$ y $\deg r_1 < \deg q_1$. De manera inductiva, $p = \sum b_n (ax+b)^n$ para algunos $b_n$'s. La sobreyectividad entonces sigue. Dado que dichos $b_n$'s son únicos, la inyectividad entonces sigue.

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Actualización: Añado la prueba para "Si $f$ es un automorfismo en $F[x]$ tal que $f(c)=c$ para todo $c \in F$, entonces $f(x)=ax+b$ para ciertos $a \neq 0$ y $b$ en $F$" aquí.

Si $\deg f(x) < 1$, entonces $\operatorname{im} f \subseteq F$. Si $\deg f(x) > 1$, entonces $\operatorname{im} f$ no contiene polinomios cuyos grados sean $1$. En ambos casos, $f$ no es sobreyectivo. Por lo tanto, $\deg f(x) = 1$.

Answer 1

Pista: Si $\sigma$ es un automorfismo, entonces $f = \sum_i a_ix^i$ se mapea a $f^\sigma = \sum_i a_i^\sigma (x^i)^\sigma = \sum_i a_i (x^\sigma)^i =\sum_i a_i g^i$, donde $x^\sigma = g$ es un polinomio en $x$.

Dado que $f$ es un automorfismo, $g$ debe ser un polinomio lineal que puedes demostrar comparando los grados.

Answer 2

Como se ha indicado en un comentario de OP, queda por demostrar que para todos los automorfismos $\sigma: F[x] \to F[x]$ que dejan fijo cada elemento de $F$, tenemos que $\sigma(x) = ax + b$ para algunos $a, b \in F$ con $a \neq 0$, o equivalentemente, $\text{deg}\left(\sigma(x)\right) = 1$.

Supongamos que $\sigma$ es un automorfismo de $F[x]$ que deja fijo cada elemento de $F$. Entonces ciertamente $\sigma(x) \notin F$ (de lo contrario tendríamos $x \in F$). Por lo tanto, el grado de $\sigma(x)$ es al menos $1$. Tomando $k$ como el grado de $\sigma(x)$, existen escalares $a_0, a_1, \dots, a_k$ en $F$ con $a_k \neq 0$ tales que

$$\sigma(x) = \sum_{i = 0}^k a_i x^i.$$ Notando que $\sigma^{-1}$ es un automorfismo de $F[x]$ que deja fijo cada elemento de $F$, por un argumento idéntico usado para demostrar que el grado de $\sigma(x)$ es mayor o igual a $1$, obtenemos que $\text{deg}\left(\sigma^{-1}(x)\right) \geq 1$. Tomando $l$ como el grado de $\sigma^{-1} (x)$, existen escalares $b_0, b_1, \dots, b_l$ en $F$ con $b_l \neq 0$ tales que $$\sigma^{-1}(x) = \sum_{j = 0}^l b_j x^j.$$ Además

\begin{align} x &= (\sigma^{-1} \sigma)(x) \\ &= \sum_{i = 0}^k a_i \left(\sigma^{-1} (x)\right)^i \\ &= \sum_{i = 0}^k a_i \left( \sum_{j = 0}^l b_j x^j \right)^i. \end{align}

El coeficiente de $x^{kl}$ en lo anterior es $a_k (b_l)^k$, que es distinto de cero. Sabemos que $l \geq 1$, por lo que si $k \geq 2$, entonces $kl \geq 2$, lo que implica que el grado del polinomio $x$ supera $1$. Dado que esto último no es cierto, tenemos que $k \leq 1$. Demostramos antes que $k \geq 1$, y por lo tanto, $$ \text{deg} \left(\sigma(x)\right) = 1.$$