¿Hay alguna diferencia entre una o dos líneas que describen la norma?

Question

Sé que el signo | representa la norma, sin embargo a veces lo veo con dos líneas, a veces con una. ¿Hay alguna diferencia? ¿Debo tener cuidado al escribir una fórmula?

Entonces, básicamente, ¿hay alguna diferencia entre

$|a|$ y $\|a\|$ ?

¿Es lo mismo cuando se trata de vectores en lugar de solo números?

Answer 1

Realmente varía según el autor/instructor. La única regla universal es que usamos barras simples para valores absolutos de números reales (y complejos) (por ejemplo, $|{-5}|$). Una vez que comenzamos a definir normas para otros objetos, podemos elegir barras simples, barras dobles, u otra notación (aunque las barras son muy estándar). En algunos contextos, usamos $N(\alpha)$ para indicar una norma de $\alpha$. Las razones para usar barras dobles (u otra notación) podrían incluir el deseo de diferenciar una norma de un vector, u otra norma, del valor absoluto de un escalar.

Si estás definiendo algún tipo de norma en tu propio escrito, es una buena idea definir tus notaciones antes de usarlas, para que los lectores puedan seguir tu argumento, incluso si vienen de un contexto en el que se utilizan diferentes notaciones.

(Las barras simples para el valor absoluto son casi universales. Sin embargo, en algunos sistemas informáticos, el valor absoluto de un número real $x$ se denota como $\mathrm{abs}(x)$. Puede haber otras notaciones dando vueltas, también.)

Answer 2

Si lo hubiera publicado como una pregunta sería un duplicado, así que decidí publicarlo como una respuesta con la esperanza de que sea confirmado o rechazado; si es lo primero, se mantendrá como una respuesta válida; si es lo segundo, puede quedarse como un contraejemplo o ser eliminado.

A pesar de que parece que insistir en $\vert \cdot \vert$ versus $\Vert \cdot \Vert$ es tan pedante como inútil, hay un cierto sentido en el que refuerza el concepto, y eso es en la diferencia en el espacio de funciones continuas entre el valor absoluto de la función, como por ejemplo para $f(x)=\sin x:$

$f(x) = \vert \sin x \vert$

y diferentes normas, por ejemplo

$$\Vert f(x) \Vert_1 = \int_0^{2\pi}\vert \sin x \vert dx =4$$

vs

$$\Vert f(x) \Vert_2 = \left( \int_0^{2\pi}\vert \sin x \vert^2 dx \right )^{1/2} =\sqrt \pi$$

o

$$\Vert f(x) \Vert_\infty = \underset{0\leq x \leq 2\pi}{\max}\left(\vert \sin x \vert \right ) =1$$