Para entender cómo se calcula la densidad de estados, primero debes comprender de dónde proviene. En la física estadística, a menudo tenemos sumas que se ven así: $$\sum_{s}\sum_{\vec n}$$ donde $s$ etiqueta el espín y $\vec n$ es un vector de números naturales que etiquetan los estados cuánticos, y tiene tantos componentes como el número de dimensiones. También podríamos escribirlo como sumas sobre sus componentes, $\sum_{n_1}\sum_{n_2}\sum_{n_3}\cdots$. No importa exactamente qué estamos sumando al calcular la densidad de estados.
En muchos cálculos, los estados cuánticos están muy finamente espaciados y podemos reemplazar la suma de los números cuánticos con una integral: $$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \sum_{s}\int dn_1 dn_2 \cdots dn_D =\sum_{s}\int d^D \vec n$$ donde $D$ es el número de dimensiones. Sin embargo, los números naturales nunca están realmente finamente espaciados, sino que los momentos sí lo están, por lo que reemplazamos $\vec n$ con $\vec k$, asumiendo que el sistema está en una caja de $D$ dimensiones: $\vec k = \frac{2\pi}{L}\vec n$. Al hacer esto, obtenemos $$\sum_{s}\int d^D \vec n = \sum_{s} \frac{L^D}{(2\pi)^D} \int d^D \vec k$$ Si el sistema no está en una caja, lo único que tenemos que cambiar es reemplazar $L^D$ con el volumen $V$ de $D$ dimensiones del sistema (por ejemplo, el volumen bidimensional es un área) y continuar como de costumbre.
Para simplificar, también reemplazaremos la suma sobre los espines. Si la cantidad que estamos sumando es independiente del espín, entonces podemos reemplazar $\sum_s \to g_s$, donde $g_s=2s+1$ es la degeneración del espín. Para un electrón, $s=1/2$ por lo que $g_s=2$. Por supuesto, no sabemos qué estamos sumando, por lo que no sabemos si es independiente del espín, pero al calcular la densidad de estados usualmente se asume que lo es.
Lo siguiente que hacemos es notar que usualmente la cantidad que estamos sumando no depende del vector completo $\vec k$, sino solo de su magnitud $|\vec k|=k$. Para eliminar la redundancia, pasamos a coordenadas esféricas $D$ dimensionales (que tienen una componente radial $k$ y $D-1$ componentes angulares). Dado que, por suposición, la integrando no depende de los grados de libertad angulares, podemos integrarlos para obtener el área de la esfera $D-1$ dimensional: $$\int d^D \vec k = S_{D-1} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ Puedes convencerte de que es cierto ya sea mirándolo el tiempo suficiente o viendo los casos $D=2$ y $D=3: $$\int d^2 \vec k = 2\pi \int_0^\infty dk \, k \,\,\,\,\,\,\,\, \int d^3 \vec k = 4\pi^2 \int_0^\infty dk \, k^2$$ Puedes encontrar la expresión para $S_{D-1}$ en el enlace de Wikipedia arriba mencionado.
Como resumen, hasta ahora hemos hecho lo siguiente: $$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \frac{V g_s S_{D-1}}{(2\pi)^D} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ En este punto, queremos expresar la integral como una sobre la energía $\epsilon$ en lugar del momento $k$ y para hacer esto necesitamos conocer la relación de dispersión $\epsilon = \epsilon(k)$. Entonces podemos invertirla y sustituirla en la integral.
Por ejemplo, en el caso del gas ideal $2D$, $V$ es en realidad el área $A$, $S_{D-1} = 2\pi$, $g_s=1$ y la relación de dispersión es $\epsilon(k)=\hbar^2 k^2/2m$. Al invertir, $k=\sqrt{2m \epsilon}/\hbar$ así que obtenemos: $$\frac{A}{2\pi} \int_0^\infty dk \, k = \int_0^\infty \frac{mA}{2\pi \hbar^2} d\epsilon$$ por lo que la densidad de estados en este caso es $\frac{mA}{2\pi \hbar^2}$. Si sigues los pasos anteriores, los cálculos en los otros casos no son difíciles.
