¿Cuándo implica abierto y conectado que también es conexo por caminos?

Question

Es bien sabido que, en $\mathbb{R}^n$:

(1) Abierto y Conexo $\Rightarrow$ Conexo por Caminos

La demostración básicamente se basa en el hecho de que (2) Cada componente conexa por caminos será abierta. Usando este hecho, llegamos a una contradicción si suponemos que hay más de una componente conexa por caminos.

Bueno, tratando de ver dónde (1) seguiría siendo válida, llegué a lo siguiente:

Si $X$ es un espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces (1) es válida.

Pero, para probar esto, probé (2). Pero para eso, se utiliza la (bastante fuerte en mi opinión) convexidad de una base local (para repetir básicamente el argumento para $\mathbb{R}^n$). Pero no estoy satisfecho con esto, ya que creo que estamos utilizando muchas condiciones fuertes (usar la existencia de un "segmento de recta" para probar la existencia de una "curva" me parece muy parecido a una bazooka).

De todos modos, dadas las consideraciones anteriores, mis preguntas son:

¿Existen ejemplos más generales de espacios donde (1) se cumple? ¿Existe alguna caracterización de espacios que satisfacen esta propiedad?

Y pregunta bonificación, ya que (2) implica (1) si el conjunto es abierto:

¿Existen ejemplos más generales de espacios donde los conjuntos abiertos cumplen (2)? ¿Existe alguna caracterización de espacios que satisfacen esta propiedad?

Answer 1

(esta sigue siendo una respuesta parcial)

Las siguientes dos propiedades de un espacio topológico $X$ son equivalentes (uso tu enumeración):

(2) cada componente convexa de un subconjunto abierto de $X$ es abierta

(3) $X$ es localmente convexo

Prueba. (3) implica (2). Toma un punto $x$ de un subconjunto abierto $U$, y considera la componente conexa de camino $Y$ del subconjunto que contiene a $x$; dado que el espacio es localmente convexo, existe un entorno abierto convexo de camino $V$ de $x$ contenido en $U$; obviamente $V$ debe estar contenido en $Y$, por lo que $Y$ es abierto.

(2) implica (3). Toma un punto $x$ y un entorno abierto $U$ de él. Por hipótesis, la componente convexa de camino de $U$ que contiene a $x$ es abierta, por lo que hemos terminado.

La siguiente propiedad no es equivalente a (2)-(3), pero es implícita en ellas:

(1) subconjuntos abiertos conectados de $X$ son de camino conexo

Como sugirió Nate, el conjunto de números racionales con la topología euclidiana satisface trivialmente (1) pero no satisface (2)-(3).

Answer 2

Creo que un espacio topológico X está conectado por caminos si y solo si se cumplen las siguientes dos propiedades: (a) X está conectado (b) cada punto en X tiene un vecindario conectado por caminos.

Por otro lado, X es localmente conectado por caminos si y solo si cualquier subconjunto abierto de X tiene la propiedad (b).