Exponencial como serie de potencias

Question

¿Existe una función que no dependa de $a$ de manera que $\sum_{x=1}^\infty \frac{a^x}{x!}f(x) = \mathrm e^{-a}$?

Solo para aclarar, la suma que comienza desde 1 es intencional, de lo contrario la solución sería trivial.

Answer 1

Esto es imposible porque $e^{-a}$ ya tiene una serie de potencias centrada en $a=0$ con un término constante distinto de cero y las series de potencias son únicas.