Cómo demostrar que un subespacio lineal de dimensión finita es un conjunto cerrado

Question

Dado un espacio lineal $V$, un campo $F$, una norma $\|\cdot\|$ en $V$ y una Base $B$.

¿Cómo puedo demostrar que el subespacio $\text{span}\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ donde $b_i \in B$ es un conjunto cerrado bajo la topología que se crea a partir del espacio métrico que crea la norma?

¿Es generalmente cierto? ¿Necesito que $V$ sea un espacio de Banach? ¿O necesito que $F$ sean los números reales?

Answer 1

Solo necesitas que el campo de tierra $K$ sea un campo normado completo, por ejemplo $K \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$.

Si $(x^{(k)})_k$ es una secuencia en $U := \langle b_1, \dotsc, b_n \rangle$ que converge a algún $x \in V$, entonces $(x^{(k)})_k$ es una secuencia de Cauchy. Debido a que $K$ es un campo normado completo, el espacio normado de dimensión finita $U$ es completo. Por lo tanto, $(x^{(k)})_k$ converge a algún $y \in U$. Por la unicidad de los límites en $V, ya tenemos $x = y \in U$. Así que $U$ es cerrado.

Observa que la afirmación no necesariamente se cumple para espacios normados sobre campos normados no completos, incluso si todos los espacios vectoriales involucrados son de dimensión finita. Toma, por ejemplo, los espacios vectoriales $\mathbb{Q}$ sobre $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.

Answer 2

En una situación más general, tenemos que: $\color{red}{\textbf{todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial topológico complejo es cerrado.}}$

Para la prueba, ver el libro de Rudin (Análisis Funcional) teorema 1.21 [página 16]