Producto externo de dos matrices?

Question

¿Cómo calcularía el producto exterior de dos matrices de 2 dimensiones cada una? Según lo que puedo encontrar, el producto exterior parece ser el producto de dos vectores, $u$ y la transpuesta de otro vector, $v^T$.

Como ejemplo, ¿cómo calcularía el producto exterior de $A$ y $B$, donde $$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix}5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10\end{pmatrix}$$

Answer 1

El producto externo se refiere generalmente al producto tensorial de vectores. Si deseas algo como el producto externo entre una matriz $m \times n$ $A$ y una matriz $p\times q$ $B$, puedes ver la generalización del producto externo, que es el producto de Kronecker. Se nota como $A \otimes B$ y es igual a: $$A \otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{pmatrix}$$

Answer 2

Para ampliar la respuesta de davcha, para tu ejemplo específico, obtendrías:

$$A\otimes B= \left( \begin{array}{cc} \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 10 & 12 & 14 \\ 16 & 18 & 20 \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{ccc} 15 & 18 & 21 \\ 24 & 27 & 30 \\ \end{array} \right) & \left( \begin{array}{ccc} 20 & 24 & 28 \\ 32 & 36 & 40 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \right)$$

Answer 3

Creo que la respuesta de @davcha y la respuesta de @Sandu Ursu son incorrectas. Han calculado el Producto de Kronecker.

Según la definición del producto externo, el producto externo de A y B debería ser un tensor de $2×2×2×3$. Puedes seguir esta respuesta para calcularlo usando numpy.

Answer 4

Si $A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$ y $A \in \mathbb R^{n \times m}$, $B \in \mathbb R^{m \times k}$, entonces su producto será una matriz $C \in \mathbb R^{n \times k}$, donde $c_{ij }$ es un producto punto de la $i^{th}$ fila de $A$ por la $j^{th}$ columna de $B$, así que $c_{ij} = \sum_{p=1}^{m}a_{ip}b_{pj}$. En tu caso: $$C = \begin{pmatrix}1*5 + 2*8 & 1*6 + 2*9 & 1*7 + 2*10\\3*5 +3*8&3*6+3*9&3*7+3*10 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 24 & 27\\ 39 & 45 & 51 \end{pmatrix}$$