Una biyección subaditiva en los números reales positivos

Question

Pregunta. ¿Existe una función biyectiva subaditiva $f$ de los reales positivos $(0,\infty)$ tal que $$ \liminf_{x\to 0^+}f(x)=0 \,\,\,\text{ y }\,\,\,\limsup_{x\to 0^+}f(x)=1\,? $$

Ps1. Supongo que la respuesta es no. Sin embargo, es afirmativa si reemplazamos "biyectiva" por "inyectiva" con el siguiente ejemplo: $f(x)=x$ si $x$ es racional, de lo contrario $f(x)=x+1$.

Ps2. La respuesta también es afirmativa si reemplazamos $$\limsup_{x\to 0^+}f(x)=1$$ por $$\limsup_{x\to 0^+}f(x)\neq 0.$$ De hecho, sea $(x_i: i \in I)$ una base de Hamel del espacio vectorial $\mathbf{R}$ sobre $\mathbf{Q}$. Fijemos una permutación no trivial $\sigma$ de $I$. Para cada $r=\sum_j \lambda_jx_j>0$ definimos $f(r)=|g(r)|$, donde $g(r)=\sum_j \lambda_j x_{\sigma(j)}$ (gracias i707107). Nótese que $g$ es una función biyectiva aditiva, por lo tanto $$ f(x+y)=|g(x)+g(y)| \le f(x)+f(y)$$ para todo $x,y>0$, entonces $f$ es subaditiva. Ahora supongamos que $f(x)=f(y)$ con $x,y>0$. Entonces o bien $g(x)=g(y)$ por lo que $x=y$, o bien $g(x)=-g(y)$ por lo que cada coeficiente de $\lambda_j$ (en $x$) es el inverso del correspondiente en $y$, entonces $x=-y$: si $x,y>0$, entonces $f(x)=f(y)$ implica $x=y$ por lo que $f$ es inyectiva.

Sobre la sobreyectividad, fijamos $x=\sum_{j} \lambda_j x_j$ y definimos $y=\sum_j \lambda_j x_{\sigma^{-1}(j)}$. Por lo tanto $z:=\max(y,-y)>0$ y $f(z)=x$; entonces $f$ es sobreyectiva.

Finalmente, se sabe que $g$ tiene un gráfico denso en $\mathbf{R}^2$, por lo que también se cumple $\liminf_{x\to 0^+}f(x)=0$ y $\limsup_{x\to 0^+}f(x)=\infty$.

Answer 1

Usando ideas descritas en la publicación del blog de Gowers sobre el Lema de Zorn, definiremos una función subaditiva $f\colon _+ _+$ con la propiedad deseada.

Sea $\mathcal{B} = \{e_\}_{ B}$ una Base Hamel de $$ sobre el campo de los racionales. Dado que $\mathcal{B}$ sigue siendo una Base Hamel cuando reemplazamos $e_$ por $q\cdot e_$ donde $q$ es racional no nulo, podemos asumir que todos los $e_ > 0$ y existe un conjunto $\{ e_n \}_{n \in _+} \subset \mathcal{B}$ tal que $2^{-(n+1)}< e_n<2^{-n}$.

Para cada $n \in _+$ elige $a_n,b_n \in \mathbb{Q}_+$ tal que $1 - 2^{-n} < a_n e_n < b_n e_n < 1$. Nota que $a_n e_n 1$. Sea $\text{span}(e_n) = \{ q e_n \mid q \in \mathbb{Q}_+\}$ y define una función lineal por tramos $f_n \colon \text{span}(e_n) \to \text{span}(e_n)$ pasando por los puntos $(0,0), (e_n, a_n e_n)$ y $(b_n e_n, b_n e_n)$: $$ f_n(x) = \begin{cases} a_n x, & 0 < x e_n,\\ \frac{b_n-a_n}{b_n-1}x + e_n \frac{b_n(a_n-1)}{b_n-1}, & e_n < x b_n e_n,\\ x, & b_n e_n < x. \end{cases} $$ (Nota pedante: El punto $(0,0)$ no pertenece al gráfico de $f_n$, pero este enfoque hace clara la idea detrás de $f_n$.) Para familiarizarse con los $f_n$, aquí está el gráfico de $f_3$:

Solo ten en cuenta que el dominio y el codominio no son $_+$ sino $\text{span}(e_3)$.

Nota que $f_n$ está bien definida ya que siempre multiplicamos $e_n$ por algún racional positivo, por lo que el codominio es realmente $\text{span}(e_n)$. Es una función biyectiva. Además, $f_n$ es subaditiva. Verificamos esto mediante un aburrido análisis de casos al final de esta prueba, pero la conclusión es la siguiente: En cada caso, o bien usamos el hecho de que $f_n|_{(0,b_ne_n]}$ es cóncava y positiva y por lo tanto subaditiva, o que el gráfico de $f_n$ está por encima de la identidad, es decir, $x \leq f_n(x)$.

Finalmente, podemos definir $f\colon _+ _+$ como $$ f(x) = \begin{cases} f_n(x), & x \in \text{span}(e_n),\\ x, & \text{en otro caso.} \end{cases} $$ Esta es una función bien definida porque cada $x \in _+$ tiene una representación única en términos de Base Hamel $\mathcal{B}$.

La función $f$ es una biyección. Claramente, $\liminf_{x 0_+} f(x) = 0$ ya que actúa como la función identidad para casi todas las entradas, y de lo contrario $f_n 0$. Para encontrar $\limsup$, primero nota que en $(0, 1]$, $f$ está acotada por arriba por $1$. En segundo lugar, $e_n 0$ y $1>f(e_n) > a_n e_n > 1-2^{-n}$, entonces $f(e_n) \to 1$. Por lo tanto, $\limsup_{x\to 0^+} f(x) = 1$ como se requiere.

Resta mostrar que $f$ es subaditiva. Toma cualquier $x,y \in _+$.

• Si $x,y \in \text{span}(e_n)$ para algún $n$. Entonces $x+y \in \text{span}(e_n)$ y la subaditividad de $f$ sigue de la subaditividad de $f_n$.

• Si $x \in \text{span}(e_n)$ para algún $n$ pero $y \not\in \text{span}(e_n)$ (o viceversa). Entonces $f(x+y) = x+y$. Debido a que $f_n(x) x$ al igual que $f(y) y$ tenemos que $f(x) + f(y) = f_n(x) + f(y) x + y = f(x+y)$.

• Si ninguno de los casos anteriores es verdadero, entonces $f(x+y) = x+ y = f(x) + f(y)$.

---

Mostramos que la función $f_n$ es subaditiva. Toma $x,y \in \text{span}(e_n)$. Sin pérdida de generalidad, asumamos que $x \leq y$. Si $x,y$ y $x+y$ están en uno de tres intervalos $(0, e_n]$, $[e_n, b_n e_n]$, o $[b_n e_n, \infty)$, entonces la condición se cumple, ya que una restricción de $f_n$ a cada uno de esos intervalos es aditiva. Queda por mostrar qué sucede en los casos "mixtos".

Cuando $x,y e_n$ y:

• (A1) $e_n < x+y b_n e_n$.
• (A2) $b_n e_n < x+y$.

Cuando $xe_n y:

• (B1) $y,x+y b_ne_n$.
• (B2) $y b_ne_n < x+y$.
• (B3) $b_ne_n < y, x+y$.

Cuando (C) $e_n < x,y b_n e_n < x+y$.

Cuando (D) $e_n < x .

Nota que $f_n|_{(0, b_ne_n]}$ es cóncava y positiva. Por lo tanto, subaditiva. Así que la subaditividad para los casos A1 y B1 está probada. Ahora supongamos que A2 es cierto. Entonces $$ f_n(x+y) = x+ y f_n(x)+f_n(y), $$ ya que $f_n$ está en o por encima de la identidad. El mismo razonamiento funcionará para el resto de los casos.