En las notas de David Tong sobre el efecto hall cuántico, al calcular la corriente debida a los modos de borde, escribe su expresión como $$I_y = -e \int \frac{dk}{2 \pi} v_y(k)$$ donde $v_y$ es la velocidad de deriva del estado con momento $\hbar k$. Pero no logro entender cómo eso da como resultado la corriente. ¿Y por qué hay un factor de $2 \pi$ ahí?
Respuestas
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El $2\pi$ está ahí porque cuando tienes un borde con longitud $L$ los valores permitidos de $k$ son $k_n= 2\pi n/L$. Así que cuando $L$ se vuelve grande tenemos
$$ dk = \frac{2\pi}{L} dn $$ y entonces
$$ \sum_{n} f(k_n) \approx \int f(k_n) dn \to L \int \frac{dk}{2\pi} f(k) $$ El $L$ desaparece porque para obtener la corriente necesitas multiplicar la velocidad de deriva $v$ por la carga densidad que es $$ \rho = \frac 1 L \sum_n \theta(k_f-k_n)\to \int_{k
Vadim
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La corriente en un sólido cristalino se puede expresar como $$ \mathbf{j}\propto \int_{\text{BZ}}\mathbf{v}_g(\mathbf{k})n(\mathbf{k})d^3\mathbf{k}, $$ es decir, un producto de la velocidad de grupo de electrones en un estado, multiplicado por el número de ocupación de este estado, sumado sobre todos los estados (la prueba se puede encontrar en textos de física del estado sólido, pero también ver esta respuesta para más discusión).
En temperatura cero, la función de distribución es una función escalón, es decir, simplemente define el límite de integración: $$ \mathbf{j}\propto \int_0^{k_F} v_g(k)dk = \int_0^{\epsilon_F} v_g(E)\rho(E)dE, $$ Además, se puede demostrar que en 1D, la densidad de estados es inversamente proporcional a la velocidad de grupo y ambos se cancelan. Este es el núcleo del efecto cuántico Hall entero, así como la cuantización de la conductancia en estructuras 1D.
Ver fórmula de Landauer, Cuantización de conductancia y Intuición sobre por qué el efecto Hall cuántico?.
