Determinar la divergencia y el gradiente usando la regla de la cadena

Question

Supongamos que $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$, y que $r=|r|$. Además, $f$ sea una función escalar de $r$ y $\vec{A}$ sea una función vectorial de $r$. Queremos determinar $\nabla f$ y $\nabla.\vec{A}$.

Parece obvio que la regla de la cadena es la forma de proceder aquí:

$$\nabla f= \dfrac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\hat{k} $$ $$= \dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}\hat{i}+\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial y}\hat{j}+\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial z}\hat{k} $$

$$= \dfrac{\partial f}{\partial r}(\dfrac{\partial r}{\partial x}\hat{i}+ \dfrac{\partial r}{\partial y}\hat{j}+\dfrac{\partial r}{\partial z}\hat{k}) $$

$$= \dfrac{\partial f}{\partial r}\hat{r} $$

Lo cual es correcto. Sin embargo,

$$\nabla.\vec{A}=\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial x} .\hat{i}+\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial y} .\hat{j}+\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial z} .\hat{k}$$

$$=\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x} .\hat{i} + \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial y} .\hat{j} + \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial z} .\hat{k}$$

$$=\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial r}.(\dfrac{\partial r}{\partial x} \hat{i} + \dfrac{\partial r}{\partial y} \hat{j}+ \dfrac{\partial r}{\partial z} \hat{k})$$

$$=\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial r}.\hat{r}$$

Resulta que estas expresiones son incorrectas.

El único margen de error parece estar en el uso de la regla de la cadena, sin embargo, si funcionó para el gradiente, ¿por qué falló aquí?

Answer 1

Ok, entonces aquí está el problema, no tuviste en cuenta que los vectores de unidad cambian.

$$ \nabla \cdot \vec{A} = \left[\hat{x}\cdot \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \cdot \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \cdot\frac{\partial}{\partial z} \right] \vec{A}$$

Ahora, consideremos el producto punto con $\hat{x}$:

$$ \hat{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\vec{A}) \tag{1}$$

Podemos escribir el operador diferencial como:

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial }{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial }{\partial \theta}$$

Por lo tanto, de (1), obtenemos:

$$ \hat{x} \cdot ( \frac{\partial \vec{A}}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial \vec{A} }{\partial \theta})$$

En particular, el término de interés es $ \frac{\partial \vec{A} }{\partial \theta}$, esto lo podemos escribir como(*);

$$ \frac{\partial \vec{A} }{\partial \theta} = \frac{\partial |A(r)| \hat{r} }{\partial \theta} = |A| \frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta} = |A|\hat{\theta}$$

Aunque la función no dependa directamente de $\theta$ o $\phi$, los vectores de unidad sí lo hacen y por lo tanto contribuyen a la derivada. ¡Espero que esto ayude!

Para una referencia sobre la derivada del vector de unidad con coordenadas ver wiki

*: Assumí $\vec{A} = |\vec{A}| \hat{r}$