Sea $|q|<1$, y $(t_i)_{i\geq 0}$ una secuencia que converge a 0. ¿Por qué es $\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n} q^i \cdot t_{n-i}=0$?
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Escrevamos $$ \sum_{i=0}^n q^i t_{n-i}=\sum_{i=0}^{K} q^i t_{n-i} + \sum_{i=K+1}^n q^i t_{n-i} $$ para algún $K$ adecuadamente elegido, que dependerá de $n$. Para la primera suma, note que $\sum_{i=0}^{K}q^i$ está acotado y que $t_{n-i}$ se vuelve pequeño para todo $i$ siempre y cuando $K$ no sea demasiado grande (más precisamente, si $n-K\to\infty$). Para la segunda suma, podemos usar que $(t_i)$ es una secuencia acotada y que $\sum_{i=K+1}^\infty q^i\to 0$ cuando $K\to\infty$. Tomar $K=n/2$ debería satisfacer ambas condiciones.
Dado que $|q|<1$, podemos dejar $\alpha=\sum_{n\ge 0}|q|^n$. Sea $\epsilon>0$. Dado que $\langle t_n:n\in\Bbb N\rangle\to0$, existe un $n_0\in\Bbb N$ tal que $|t_n|<\frac{\epsilon}{2\alpha}$ siempre que $n\ge n_0$. Entonces para $n>n_0$ tenemos
$$\begin{align*} \left|\sum_{k=0}^n q^kt_{n-k}\right|&\le\sum_{k=0}^n |q|^k|t_{n-k}|\\ &=\sum_{k=0}^{n-n_0}|q|^k|t_{n-k}|+\sum_{k=n-n_0+1}^n|q|^k|t_{n-k}|\\ &=\sum_{k=n_0}^n|q|^{n-k}|t_k|+\sum_{k=n-n_0+1}^n|q|^k|t_{n-k}|\\ &<\frac{\epsilon}{2\alpha}\sum_{k=n_0}^n|q|^{n-k}+|q|^{n-n_0+1}\sum_{k=0}^{n_0-1}|t_k|\\ &<\frac{\epsilon}2+|q|^{n-n_0+1}\sum_{k=0}^{n_0-1}|t_k|\;. \end{align*}$$
Nota que la última suma es independiente de $n$. Sea $M=\max\{|t_k|:0\le k\max\{n_0,m_0\}$ tenemos
$$\begin{align*}\left|\sum_{k=0}^n q^kt_{n-k}\right|&<\frac{\epsilon}2+|q|^{n-n_0+1}\sum_{k=0}^{n_0-1}|t_k|\\ &<\frac{\epsilon}2+\frac{\epsilon}{2Mn_0}\sum_{k=0}^{n_0-1}M\\ &\le\epsilon\;. \end{align*}$$
Se sigue que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nq^kt_{n-k}=0$.
