Mostrar que $\sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i}<2$

Question

Mi tarea es mostrar: $$\sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} < 2$$ También hay una pista: intenta acotar esta suma término a término con una progresión geométrica.
He intentado lo siguiente: $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{2^i} = \sum_{i=0}^n \frac{1}{2^i} - 1 = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} - 1 = 1 - (\frac{1}{2})^n $$ y $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ Pero no estoy seguro si lo estoy pensando de la manera correcta. No puedo avanzar más desde este punto. El problema parece bastante simple y básico, pero no conozco 'el truco inteligente' ahí.

Answer 1

Transformar esto parece ser el camino a seguir. Ten en cuenta $$\sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} =\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=k}^{n}\frac{1}{2^i}\right)$$

Ya que cada término, $\frac{1}{2^i}$, se agrega $i$ veces. Ahora, utilizando la fórmula para la suma de progresiones geométricas, tenemos $$\sum_{i=k}^{n}\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^n}<\frac{1}{2^{k-1}}$$

Por lo tanto, la suma se convierte en $$\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=k}^{n}\frac{1}{2^i}\right)<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}<2 $$

Answer 2

Deje que $$f(x):=\sum_{i=1}^n x^i=x\frac{1-x^n}{1-x}<\frac x{1-x}=g(x)$$ para $x$ en $(0,1)$.

Luego, al diferenciar, notando que $f(0)=g(0)=0$, la suma solicitada verifica

$$\sum_{i=1}^n\frac i{2^i}=\left.x\sum_{i=1}^n ix^{i-1}\right|_{x=1/2}=\frac12f'\left(\frac12\right)<\left.xg'(x)\right|_{x=1/2}=\frac12\frac1{\left(1-\dfrac12\right)^2}=2.$$

Answer 3

$$S:=\frac01+\frac12+\frac24+\frac38+\cdots\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac n{2^n}=\\ \frac12\left(\frac{0+1}1+\frac{1+1}2+\frac{2+1}4+\cdots\frac{n-2+1}{2^{n-2}}+\frac {n-1+1}{2^{n-1}}\right).$$

Then

$$2S-S=\frac11+\frac12+\frac14+\cdots\frac1{2^{n-2}}+\frac1{2^{n-1}}-\frac n{2^n}<2.$$

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This result makes is difficult to avoid computing the sum as a by-product,

$$S=2-\frac1{2^{n-1}}-\frac n{2^n}.$$