¿Cómo se demuestra que un objeto es un elemento de un conjunto?

Question

Estoy atascado en este problema en particular:

Supongamos que $\{A_i \mid i \in I \}$ es una familia indexada de conjuntos y $I \neq \varnothing$. Demuestra que $\bigcap_{i\in I}A_i \in \bigcap_{i\in I}P(A_i)$. Entiendo la notación y el problema en sí no parece tan difícil, sin embargo no tengo idea de cómo probar esto de manera lo suficientemente rigurosa, por así decirlo.

¿Alguna recomendación sobre cómo abordar este tipo de problema?

Answer 1

Para demostrar que $x \in \bigcap_i B_i$ para algún $x$, por la definición de intersección, tienes que demostrar que $x \in B_i$ para todo $i$. En tu caso, $B_i = P(A_i)$, por lo tanto $x \in B_i$ significa $x \subseteq A_i$. Con $x = \bigcap_{i \in I} A_i$, tienes que demostrar $\bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_i$ para todo $i \in I. Lo cual es cierto por la definición de intersección.

Answer 2

Tienes $$ \cap_{i \in I} A_i \subset A_i \quad \forall i \in I, $$ así que $$ \cap_{i \in I} A_i \in \mathcal{P}(A_i) \quad \forall i \in I, $$ por lo tanto $$ \cap_{i \in I} A_i \in \cap_{i \in I} \mathcal{P}(A_i) \quad \forall i \in I. $$

Answer 3

Si "$I = \varnothing$" no es un error tipográfico, estás viendo una intersección de una familia vacía de conjuntos. Es estándar definir la intersección de una familia vacía de subconjuntos de $A$ como siendo $A: cualquier elemento de $A$ está en cada $A_i$ si $I = \varnothing$. Pero tiene que haber cierta comprensión de qué conjunto $A$ son todos los $A_i$ (en ese contexto) para ser considerados subconjuntos "naturales" de. En una situación como esta, $\mathcal{P}(A_i)$ probablemente se consideraría como subconjuntos naturales de $\mathcal{P}(A)$. Así que $\bigcap_{i\in I}A_i$ sería $A$, mientras que $\bigcap_{i\in I}\mathcal{P}(A_i)$ sería $\mathcal{P}(A)$. Y $A \in \mathcal{P}(A)$.