¿Cómo se puede definir un producto interno a través de una prueba?

Question

Tengo un momento realmente difícil con la pregunta b de la imagen a continuación, (Encuentra cualquier A y B no triviales tales que sean ortogonales) y la pregunta c, la prueba.

Sé que no trivial significa una solución distinta de cero, pero ¿cómo interpreto el subíndice? ¿Y la parte c utiliza el Teorema de Cauchy-Schwarz? Parece casi como el teorema de Pitágoras pero no estoy seguro si estoy completamente equivocado.

Cualquier ayuda o guía que puedas proporcionar sería muy útil, ¡gracias!

Answer 1

Para b) solo necesitamos encontrar $A$ y $B$ no nulos para que el producto interno sea $0$, es decir, $$ \langle A, B \rangle = \left\langle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ 0 & b_{22} \end{bmatrix}\right\rangle = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{12} + a_{22}b_{22} = 0$$ Un ejemplo fácil sería tomar $a_{11}=a_{12}=b_{22}=0$. Esto daría una suma de ceros, incluso si $A$ o $B$ no son triviales. Por ejemplo,

$$ A= \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 3 & -17\\ 0 & 0 \end{bmatrix},\qquad \text{entonces $\langle A,B\rangle = 0$}$$

Respecto a c), tienes razón al reconocer la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Como tenemos un producto interno, este debe cumplir $$\langle A, B\rangle^2 \leq \langle A, A\rangle \langle B,B\rangle$$ donde $$\langle A, B\rangle^2 = (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22})^2$$ $$\langle A, A\rangle \langle B,B\rangle = (a_{11}a_{11}+a_{12}a_{12}+a_{22}a_{22})(b_{11}b_{11}+b_{12}b_{12}+b_{22}b_{22}) = (a_{11}^2+a_{12}^2+a_{22}^2)(b_{11}^2+b_{12}^2+b_{22}^2)$$

Answer 2

Puedes mapear cada una de estas matrices a un vector de tamaño 3. En cada matriz hay una entrada cero. Ignora ese cero y toma las otras tres entradas como componentes de un vector (es decir, las coordenadas x, y, z).

Después de este proceso es claro que esta pregunta no se trata realmente de matrices, es la misma pregunta que para $\mathbf{R}^3$.

Si has escrito programas de computadora, el proceso anterior se puede ver de esta manera. En un programa que usamos, utilizamos matrices 2d, o matrices 3d, etc. Una matriz 2d se puede escanear fila por fila y mapearse a una matriz 1-d (que es lo que hemos hecho).