¿Por qué un producto $\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n (1- \frac{1}{n+2i})$ lleva a infinito?

Question

Le pedí a Wolfram Alpha que calculara el siguiente límite:

$\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n (1- \frac{1}{n+2i})$ y la respuesta fue $\infty$. No entiendo cómo puede ser, ya que todos los elementos del producto son menores que 1.

Para comparar, cuando pregunté por el siguiente límite:

$\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n (1- \frac{1}{n+i})=1/2$.

¿Cuál es el valor real de estos límites?

Answer 1

Podemos tratar el producto más general $$\prod_{i = 1}^n \left(1 - \frac{1}{n + a i}\right), \qquad a > 0 .$$ Reescribiendo tenemos $$\prod_{i = 1}^n \left(\frac{i+\frac{n - 1}a}{i + \frac{n}a}\right) = \frac{\prod_{i = 1}^n \left(i+\frac{n - 1}a\right)}{\prod_{i = 1}^n \left(i + \frac{n}a\right)} = \frac{\left(1 + \frac{n - 1}a\right)_n}{\left(1+\frac{n}a\right)_n},$$ donde $(b)_n$ denota el símbolo de Pochhammer. Al reescribir esta expresión usando la representación de la función Gamma $$(b)_n = \frac{\Gamma(n + b)}{\Gamma(n)}$$ del símbolo de Pochhammer y utilizando la serie de Stirling de $\Gamma$, $$\Gamma(s) = \sqrt{\frac{2 \pi} s} \left(\frac{s}e\right)^s \left(1 + \frac1{12 s} + R_1(s)\right), \quad R_1(s) \in O\left(\frac1{s^2}\right),$$ se obtiene que cuando $n \to \infty$, la razón se comporta como $$\prod_{i = 1}^n \left(1 - \frac{1}{n + a i}\right) = (a + 1)^{-\frac1a} \left(1 + \frac{a - 1}{2 (a + 1) n} + R_2(n)\right),$$ donde $R_2(n) \in O\left(\frac1{n^\frac32}\right)$. En particular, $$\boxed{\lim_{n \to \infty} \prod_{i = 1}^n \left(1 - \frac{1}{n + a i}\right) = (a + 1)^{-\frac1a}} .$$ Para $a = 1$ el límite es $\boxed{\frac12}$, y para $a = 2$ el límite es $\boxed{\frac1{\sqrt3}}$

El mismo argumento se aplica al caso $a > -1$, $a \neq 0$; en el caso límite $a = 0$ el producto es $\left(1 - \frac1n\right)^n$, que tiene límite $\frac1e$ cuando $n \to \infty$.

No entiendo cómo explicar el comportamiento de WolframAlpha. Mathematica devuelve el resultado correcto utilizando la entrada Limit[Product[1 - 1/(n + 2*i), {i, 1, n}], n -> Infinity], pero WolframAlpha da $\infty$ para lo mismo.

Answer 2

Aquí está el razonamiento incorrecto de WolframAlpha identificado a través del botón "Mostrar pasos".

$$\prod_{i=1}^n \left(1-\frac{1}{n+2i}\right)=\frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)_n}{\left(\frac{n}{2}+1\right)_n}$$ (donde eso es la función de Pochhammer)

Por la regla del cociente, podemos distribuir la operación de límite sobre la fracción; el límite del denominador se reclama incorrectamente sin más razonamiento que ser $1$, mientras que el límite del numerador se reclama sin más razonamiento que ser $\infty$.

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Puedes obtener la respuesta correcta de WolframAlpha tomando logaritmos:

Exp@Limit[Sum[Log[1 - 1/(n + 2 i)], {i, 1, n}], n -> \[Infinity]]

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer 3

Edición: Parece que Patrick Stevens me ganó

Por lo que vale, aquí tienes una copia-pega ligeramente editada de la supuesta """solución""" que ofrece Wolfram.

Encuentra el siguiente límite: $$ \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{n+2i}\right).$$ Aplica $\displaystyle\prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{n + 2i}\right) = \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)_n}{\left(\frac{n}{2} + 1\right)_n} $ para obtener $$\lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{n+1}{2})_n}{(\frac{n}{2}+1)_n}.$$ Aplicando la regla del cociente, escribe $$\lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{n+1}{2})_n}{(\frac{n}{2}+1)_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (\frac{n+1}{2})_n}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} (\frac{n}{2}+1)_n}.$$ Ahora $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (\frac{n}{2} + 1)_n = 1$, así que $$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+1}{2}\right)_n = \infty$$

Supongo que el problema está ocurriendo en el paso donde afirma $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{2} + 1\right)_n = 1.$$

Answer 4

Tomando el logaritmo del producto y aplicando una expansión de Taylor obtenemos $$ \log\left(\prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{n + ki}\right)\right)= \sum_{i=1}^n \log\left(1 - \frac{1}{n + ki}\right) =-(1+o(1)) \sum_{i=1}^n \frac{1}{n + ki} $$ como $n\to \infty$, donde $k\in \mathbb{R}^+$ está fijo. El último término converge como una suma de Riemann a $$ \int_1^n \frac{1}{n + kx} \, dx = \frac{\log(k+1)}{k}(1+o(1)), $$ como $n\to \infty$. Por lo tanto $$ \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{n + ki}\right)=\exp\left({\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\log\left(1 - \frac{1}{n + ki}\right)}\right)=(k+1)^{-\frac{1}{k}}. $$