Definición de la subbase: ¿No tenemos que incluir el conjunto vacío?

Question

Sea $X$ un conjunto y $\mathcal A=\{A_1,...,A_n\}\subset 2^X$. Quiero construir la topología más gruesa tal que los elementos de $\mathcal A$ sean abiertos. En mi curso está escrito que una base para $\mathcal T$ es $$\left\{\bigcap_{i\in I}A_i\mid |I|<\infty \right\}\cup \{X\},$$ o también podemos establecer $$\mathcal B=\mathcal A\cup\{X\},$$ y una base está dada por $$\left\{\bigcap_{i\in I}A_i\mid |I|<\infty \right\}.$$

Mi pregunta: si los $A_i$ no son disjuntos, ¿no tenemos que añadir el conjunto vacío? es decir, ¿establecer $\mathcal B$ como $$\mathcal B=\mathcal A\cup\{\emptyset, X\},$$ en lugar de $\mathcal A\cup \{X\}$? Pregunté a un tutor por correo electrónico, y simplemente me respondió que no era necesario. ¿Por qué no lo es? ¿Cómo podemos obtenerlo? Realmente no entiendo.

Answer 1

No explicas por qué piensas que necesitas incluir el conjunto vacío, por lo que es difícil responder.

Sin embargo, imagino que tu problema es que no has internalizado lo siguiente, o algo similar.

Cuando decimos "los conjuntos abiertos son las uniones de elementos de la base", eso significa uniones de todas las formas posibles, tales como:

• Una unión de una familia infinita de elementos de la base
• La unión de una familia grande pero finita de elementos de la base
• La unión de un par de elementos; es decir, la unión de un conjunto que contiene dos elementos de la base: por ejemplo $U \cup V = \bigcup_{S \in \{U, V\}} S$
• La unión de una familia que consiste en un solo elemento de la base: por ejemplo $U = \bigcup_{S \in \{U\}} S$
• La unión de una familia vacía de elementos de la base: por ejemplo $\varnothing = \bigcup_{S \in \varnothing} S

En particular, el conjunto vacío se puede escribir como una unión de elementos de la base.

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Quizás vale la pena señalar que tu libro de texto ha cometido un error similar; es redundante incluir explícitamente $\{X\}$ en la base, porque su definición ya lo incluye: el caso $I=\varnothing$ es la intersección vacía.

$$X = \bigcap_{i \in \varnothing} A_i$$

_{(nota técnica: esta fórmula para una intersección vacía depende implícitamente del contexto en el que estamos haciendo aritmética con "subconjuntos de $X$")}