Probabilidad acerca de tres independiente exponencial de las variables aleatorias

Question

Supongamos que tenemos tres independiente exponencial de las variables aleatorias $A$, $B$ y $C$ con los respectivos parámetros $1$, $2$ y $3$.

Calcular el $P(A<B<C)$.

La sugerencia se dice que este problema podría ser resuelto con el cálculo y sin cálculo. Estoy muy curioso de cómo se enfoque con diferentes métodos.

Answer 1

Es bien conocido que el $$P(A<B)=\frac{\lambda_a}{\lambda_a+\lambda_b}.$$

Usted también debe saber el hecho de que $$\min(A,B)\sim \mathcal E(\lambda_a+\lambda_b),$$ pensamos en la primera hora de llegada de la suma de dos procesos de Poisson, por ejemplo.

A partir de allí, se podría descomponer el caso de $\{A<B<C\}$ en la intersección de dos eventos independientes $$\{A<\min(B,C)\}$$ and $$\{B<C\}$$ para obtener una intuición de este resultado.

Answer 2

Aquí es cómo resolverlo sin mucho cálculo. Recuerde que para exponencial de la variable $X$ con el parámetro $\lambda$, $\mathbb{P}(X > x) = \exp(-\lambda x)$ para $x \ge 0$.

Haremos uso del siguiente resultado, que se basa en memoryless de propiedades de la distribución exponencial, es decir,$\mathbb{E}(f(X-a) ; X > a) = \mathbb{E}(f(X))$: $$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}( \mathbf{1}_{X > a} \exp(-\mu X)) &=& \mathbb{E}(\exp(-\mu X); X > a) \mathbb{P}(X > a) \\ &=& \exp(-\mu a) \cdot \mathbb{E}(\exp(-\mu (X-a)); X > a) \cdot \exp(-\lambda a) \\ &=& \exp(-(\mu+\lambda) a) \cdot \mathbb{E}(\exp(-\mu X) ) \\ &=& \exp(-(\mu+\lambda) a) \cdot \frac{\lambda}{\lambda+\mu} \end{eqnarray} $$

Ahora, el uso acondicionado: $$ \begin{eqnarray} \mathbb{P}(C > B > A) &=& \mathbb{E}_A( \mathbb{E}_B( \mathbf{1}_{B>a} \mathbb{P}(C > b ; B=b, A=a) ; A=a)) \\ &=& \mathbb{E}_A( \mathbb{E}_B( \mathbf{1}_{B>a} \exp(-\lambda_c b) ; A=a)) \\ &=& \mathbb{E}_A( \frac{\lambda_b}{\lambda_b+\lambda_c} \exp(-a(\lambda_b+\lambda_c) ) \\ &=& \frac{\lambda_b}{\lambda_b+\lambda_c} \cdot \frac{\lambda_a}{\lambda_a + \lambda_b+\lambda_c} \end{eqnarray} $$

Con $\lambda_a=1$, $\lambda_b = 2$, $\lambda_c=3$, la respuesta viene a $\frac{1}{15}$.

Answer 3

Esto se puede hacer a partir de primeros principios, con un uso mínimo de Cálculo (sólo la diferenciación y la integración de monomials). Por una definición, al $X$ tiene una distribución Exponencial con parámetro $\lambda\gt 0$, $\Pr(X\le x) = 1 - \exp(-\lambda x)$. Por lo tanto, para cualquier $0\lt x\le 1$,

$$\Pr(\exp(-X)\lt x) = \Pr(X \gt -\log(x)) = \exp(\lambda\log(x)) = x^\lambda.$$

Por la diferenciación que encontrar la densidad de probabilidad de $\exp(-X)$$\lambda x^{\lambda-1}\ dx$. La solución ahora es obtenido mediante la integración de la articulación de la densidad de $(A,B,C)$ sobre el $A\lt B\lt C$ a través de esta transformación:

$$\eqalign{ \Pr(A \lt B \lt C) &= \Pr\exp(-C)\lt \exp(-B)\lt \exp(-A)) \\ &= \int_0^1 da \int_0^2b\ db\int_0^b 3c^2\ cc \\ &= \int_0^1 da \int_0^2b\ b^3\ db\\ &= \frac{2}{5}\int_0^1^5\ da \\ &= \frac{1}{15}. }$$

Answer 4

El modo tan ingenuo sería el uso de la probabilidad condicional:

$\mathrm P(A<B<C) = \int_0^\infty \mathrm P(A < B < x) f_C(x) \mathrm d x = \int_0^\infty \int_0^x \mathrm P(A<y) f_B(y) f_C(x) \mathrm d y \mathrm d x$.

Answer 5

He escrito un programa para probar las probabilidades de los tres independiente exponencial de las variables aleatorias de Un, B y C con los respectivos parámetros λ_un = 1, l_b = 2, l_c = 3. Aquí están los resultados:

P (A < B < C) = 0.3275
P (A < C < B) = 0.2181
P (B < A < C) = 0.2047
P (B < C < A) = 0.0681
P (C < A < B) = 0.1211
P (C < B < A) = 0.0603

P (A < B < C) no es de 1/15.

Aquí está el código fuente del programa:

Random Rand = new Random(2015);

public Double GetExponential(Double mean)
{
    return -mean * Math.Log(Rand.NextDouble());
}

var totalCase = 0;
for (int i = 0; i < 1000000; ++i)
{
    var p1 = GetExponential(1);
    var p2 = GetExponential(2);
    var p3 = GetExponential(3);

    if (p1 < p2 && p2 < p3)
        ++totalCase;
}
Console.WriteLine(totalCase / 1000000.0);