¿Es posible obtener un análogo del Teorema de Liouville en términos del Espacio de Configuración (o el espacio tangente de este)? Si no es posible, ¿por qué este resultado solo es obtenible en la formulación Hamiltoniana? Según varios libros, algunos resultados en la mecánica clásica solo son posibles, o al menos obvios, debido a las propiedades Hamiltonianas y del espacio de fase, pero la razón nunca ha sido clara para mí. ¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre los Espacios de Configuración y de Fase, además de la distinción obvia entre el conjunto de variables utilizadas por ellos?
Respuesta
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No, en general no. Para empezar, a diferencia del espacio cotangente $T^{*}M$, que tiene una forma de volumen canónica $$\Omega~=~\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n},\tag{1}$$ donde $$\omega~=~\sum_{i=1}^n \mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^i \tag{2}$$ es la 2-forma simpléctica canónica; no hay una elección natural de forma de volumen en el espacio tangente $TM$ o en la variedad base $M$.
