Preguntas elementales sobre órbitas

Question

Supongamos que un grupo $G$ actúa en un conjunto $X$. Sé lo que se entiende por "órbita de un punto $x\in X".

1. Para $Y\subset X$, ¿qué significa "$Y$ es una órbita"? ¿Significa "para algún $x\in X$, $Y$ es una órbita de $x$"?

2. Considera una acción a la derecha $(P, A) \mapsto {}^tPA\bar P$ de $\mathit{GL}_n(\mathbb{C})$ en $M_n(\mathbb{C})$. Un libro al alcance dice que un subconjunto $\{A\in M_n(\mathbb{C})\mid A\ \text{es una matriz hermítica y definida positiva}\}\subset M_n(\mathbb{C})$ es una órbita. ¿Por qué es esto cierto?

Editar: Dado que la palabra algo parecía confusa, la reemplacé con $Y.

Answer 1

Para 1: Sería incorrecto decir "una órbita de un punto $x\in X$", ya que un punto tiene exactamente una órbita (bajo una acción dada), así que es "la órbita de un punto $x\in X$" (bajo la acción dada). Por lo tanto, el artículo indefinido es libre de ser utilizado en el caso en el que $x$ no esté especificado; entonces sí, "$O$ es una órbita" (bajo la acción dada) significa "para algún $x\in X$, $O$ es la [no una] órbita de $x" (bajo la acción dada).

Para 2: Las matrices hermíticas definidas positivas pueden diagonalizarse. Sean $A$ y $B$ dos matrices así, y sean $A={^t}SC\bar S$ y $B={^t}TD\bar T$ sus diagonalizaciones, con ${^t}S\bar S=1$, ${^t}T\bar T=1$ y $C$ y $D$ matrices diagonales reales positivas. Entonces $B={^t}PA\bar P$ con $\bar P={^t}SC^{-1/2}D^{1/2}\bar T$. Por lo tanto, todas las matrices hermíticas definidas positivas están en la misma órbita de esta acción.